Integralrechner

Dieser fortschrittliche Integralrechner vereinfacht sofort bestimmte und unbestimmte Integrale mit mehreren Variablen. Erhalten Sie mit einem einzigen Tastendruck Schritte zur Integralberechnung komplizierter Funktionen.

Was ist Integral?

In der Analysis:

„Integral korreliert mit der Summe, die zur Berechnung der Fläche und des Volumens mit allen Verallgemeinerungen verwendet wird.“

Integral ist die Fläche unter dem Graphen einer Funktion oder eines Intervalls. Tatsächlich wird der Prozess, das Integral zu finden, als Integration bezeichnet und ist die Umkehrung der Ableitungen, weshalb es auch als Antiableitungen bezeichnet wird.

Wie finde ich Stammfunktionen?

Der Antiderivativ-Rechner mit Schritten ermittelt die Antiableitung jedes Ausdrucks mit Variablen und hilft außerdem dabei, die Ober- und Untergrenze mit den Maximal- und Minimalwerten der Intervalle zu ermitteln.

Unser Online-Integrationsrechner mit Schritten ist der beste Weg, jede Art von Integral zu vereinfachen. Wenn Ihr Ziel jedoch manuelle Berechnungen erfordert, sollten Sie sowohl bestimmte als auch unbestimmte Integrationstechniken beherrschen.

Lassen Sie uns ein paar Beispiele auflösen, um Ihr Konzept zu verdeutlichen!

Bestimmtes Integral:

Lösen Sie das folgende bestimmte Integral mit Schritten

$$ \int_{0}^{1}\left( 3 x^{2} + x - 1 \right), dx $$

Lösung:

Zunächst müssen wir die Ergebnisse für die unbestimmte Integration des gegebenen Integrals erhalten

$$ \int{\left(3 x^{2} + x - 1\right),dx} $$

$$ = x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right) $$

Der Grundsatz der definitiven Integration besagt dies

$$ \int{a}^{b} F\left(x\right) dx = f\left(b\right)-f\left(a\right) $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 1\right)} = \frac{1} {2} $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 0\right)} = 0 $$

$$ \int_{0}^{1}\left(3 x^{2} + x - 1\right), dx $$

$$ = \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=1\right)}-\left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=0\right)} $$

$$ =\frac{1}{2} $$

Welches ist die erforderliche Antwort. Sie können die Ergebnisse auch mit dem intelligenten Online-Integralrechner im Handumdrehen überprüfen.

Unbestimmtes Integral:

Bewerten Sie das unten angegebene Integral

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

Lösung:

Lassen Sie uns davon ausgehen

$$ u = x^{2} $$

Berechnen der Stammfunktionsformel der obigen Gleichung durch Anwendung der Potenzregel:

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^(n-1) $$

Ersetzen Sie n=2

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x^(2-1) $$

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x $$

Als $$ x^{2} = u $$

also haben wir

$$ d\left(u\right) = \left(x^{2}\right) = 2xdx $$

$$ d\left(u\right) = xdx $$

Wenden wir nun die Stammfunktionsregel an:

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \int d\frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

Wir müssen die folgende Multiplikationsregel anwenden

$$ \int cf\left(u\right), du $$

$$ = c\int f\left(u\right), du $$

$$ \int \frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

$$ = \left(\frac{\int cos\left(u\right), du}{2}\right) $$

Als Integral des Kosinus wird wie folgt angegeben

$$ \int cos \left(u\right), du = sin \left(u\right) $$

$$ int cos \left(u\right), du = \frac{sin\left(u\right)}{2} $$

Wie am Anfang ließen wir das

$$ u = x^{2} $$

$$ \frac{sin\left(u\right)}{2} = \frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \dfrac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

Hier wird die Integrationskonstante C hinzugefügt

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = d\frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} + C $$

Dies sind die erforderlichen Integralberechnungen der gegebenen Funktion und können auch mithilfe des Lösers für unbestimmte Integrale überprüft werden.

Funktionsweise des Integralrechners:

Mit unserem Stammfunktionsrechner können Sie das Integral jeder Funktion ermitteln. Geben Sie einfach die folgenden Eingaben ein und erhalten Sie sofort Integralberechnungen!

Eingaben:

• Geben Sie die Funktion in das entsprechende Feld ein
• Wählen Sie die zugehörige Variable aus einer benachbarten Liste aus
• Wählen Sie den Integraltyp aus
• Wenn Sie „Definites Integral“ wählen, geben Sie die Unter- und Obergrenze ein
• Tippen Sie auf „Berechnen“

Ausgänge:

Unser Online-Rechner für bestimmte Integrale gibt Ihnen die folgende Antwort.

• Bestimmte und unbestimmte Integrale
• Diagramme von Integralen mit ihren Real- und Imaginärteilen
• Integrale Vereinfachung mit Schritten

FAQs:

Kann man Zahlen aus einem Integral herausrechnen?

Ja auf jeden Fall! Sie können die konstanten Zahlen aus den Integralen herausziehen, um die Berechnungen zu vereinfachen.

Zum Beispiel ist das Integral $$ \int 3y + 9 $$ dasselbe, als würden wir die Zahl 3 mit dem Integral \(y + 3\) multiplizieren.

Was ist der Nutzen von Anti-Derivaten?

Dieser Begriff wird verwendet, um die Fläche unter der Kurve, das Volumen eines Festkörpers, den Abstand, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, den Durchschnittswert einer Funktion und die Fläche einer beliebigen Form abzuschätzen. Zu diesem Zweck nutzen Sie unseren Anti-Derivate-Rechner.

Kann ein Integral unendlich sein?

Ja! Jedes unbestimmte Integral, das mit positiven und negativen Grenzen definiert ist, wird als unendlich bezeichnet. Sie können eine solche Integration auch mit diesem unbestimmten Integralrechner mit Schritten auswerten.

Können Sie das Integral jeder Funktion bilden?

Ein Integral kann nur von einer stetigen Funktion gebildet werden. Der Grund dafür ist, dass eine solche Funktion definiert ist und die Fläche unter der Kurve anzeigt.

Kann ein Integral Null sein?

Ja, es ist nur ein bestimmtes Integral, das entweder positiv, negativ oder Null sein kann.

Was ist die Stammfunktion von E zu X?

Die Stammfunktion von e^x wird in der Form ex + c geschrieben, wobei c die Integrationskonstante ist.

Ist ein Integral immer differenzierbar?

Man kann nur das Integral einer stetigen Funktion differenzieren, die ihrer Natur nach unbestimmt ist.

Warum haben Integrale eine Konstante C?

Die Konstante C wird hinzugefügt, um diejenigen Funktionen darzustellen, deren Ableitungen die ursprünglichen Funktionen sind.

Wichtige Integralformeln: