Integraatio Laskin

Tämä edistyksellinen integraalilaskin yksinkertaistaa välittömästi useiden muuttujien määrälliset ja epämääräiset integraalit. Ota vaiheet mukaan monimutkaisten toimintojen laskemiseen yhdellä napautuksella.

Mikä on Integral?

Laskennassa:

"Integraali korreloi summan kanssa, jota käytetään laskettaessa pinta-ala ja tilavuus kaikilla yleistyksellä".

Integraali on funktion tai intervallin kuvaajan alla oleva alue. Itse asiassa integraalin löytämisprosessi tunnetaan integraationa, ja se on johdannaisten käänteinen, minkä vuoksi sitä kutsutaan myös antijohdannaisiksi.

Kuinka löytää antijohdannaisia?

Askelinen antiderivatiivilaskin löytää minkä tahansa muuttujalausekkeen antijohdannaisen ja auttaa myös ymmärtämään ylä- ja alarajan intervallien maksimi- ja minimiarvoilla.

Online-integraatiolaskurimme vaiheineen on paras tapa yksinkertaistaa kaikenlaista integraalia. Mutta jos tavoitteesi saavuttaa manuaaliset laskelmat, sinun tulee tarttua sekä määrällisiin että määrittelemättömiin integrointitekniikoihin.

Ratkaisemme pari esimerkkiä konseptisi selventämiseksi!

Tarkka integraali:

Ratkaise seuraava kiinteä integraali vaiheilla

$$ \int_{0}^{1}\left( 3 x^{2} + x - 1 \right), dx $$

Ratkaisu:

Ensinnäkin meidän on saatava tulokset annetun integraalin määrittelemättömälle integroinnille

$$ \int{\left(3 x^{2} + x - 1\right),dx} $$

$$ = x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right) $$

Määrätyn integraation peruslause sanoo, että

$$ \int{a}^{b} F\left(x\right) dx = f\left(b\right)-f\left(a\right) $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 1\right)} = \frac{1}{2} $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 0\right)} = 0 $$

$$ \int_{0}^{1}\left(3 x^{2} + x - 1\right), dx $$

$$ = \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=1\right)}-\left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=0\right)} $$

$$ =\frac{1}{2} $$

Mikä on pakollinen vastaus. Voit myös tarkistaa tulokset käyttämällä älykästä verkkolaskinta hetkessä.

Epämääräinen integraali:

Arvioi alla annettu integraali

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

Ratkaisu:

Tehdään oletus, että

$$ u = x^{2} $$

Laske yllä olevan yhtälön antiderivatiivinen kaava käyttämällä tehosääntöä:

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^(n-1) $$

Korvaa n=2

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x^(2-1) $$

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x $$

Kuten $$ x^{2} = u $$

niin meillä on

$$ d\left(u\right) = \left(x^{2}\right) = 2xdx $$

$$ d\left(u\right) = xdx $$

Nyt sovelletaan antiderivatiivisääntöä:

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \int d\frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

Meidän on sovellettava kertomissääntöä, joka on seuraava

$$ \int cf\left(u\right), du $$

$$ = c\int f\left(u\right), du $$

$$ \int \frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

$$ = \left(\frac{\int cos\left(u\right), du}{2}\right) $$

Koska kosinin integraali annetaan seuraavasti

$$ \int cos \left(u\right), du = sin \left(u\right) $$

$$ int cos \left(u\right), du = \frac{sin\left(u\right)}{2} $$

Kuten alussa, annoimme

$$ u = x^{2} $$

$$ \frac{sin\left(u\right)}{2} = \frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \dfrac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

Lisää tähän integrointivakio, joka on C

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = d\frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} + C $$

Mikä on annetusta funktiosta vaadittava integraalilaskelma, ja se voidaan myös tarkistaa käyttämällä epämääräisen integraalin ratkaisijaa.

Integraalilaskimen toiminta:

Käyttääksesi antiderivatiivilaskuriamme saat minkä tahansa funktion integraalin. Syötä vain seuraavat syötteet ja saat välittömät integraalilaskelmat!

Tulot:

• Kirjoita funktio vastaavaan kenttään
• Valitse vastaava muuttuja viereisestä luettelosta
• Valitse integraalin tyyppi
• Jos valitset "Definite Integral", syötä ala- ja yläraja
• Napauta "Laske"

Lähdöt:

Online-integraalilaskinmme antaa sinulle seuraavan vastauksen.

• Määrälliset ja epämääräiset integraalit
• Integraalipiirrokset niiden todellisten ja kuvitteellisten osien kanssa
• Integroitu yksinkertaistus vaiheilla

UKK:

Voitko ottaa numeroita irti integraalista?

Kyllä ehdottomasti! Voit vetää vakioluvut ulos integraaleista helpottaaksesi laskemista.

Esimerkiksi integraali $$ \int 3y + 9 $$ on sama kuin kerromme luvun 3 integraalilla \(y + 3\).

Mikä on antijohdannaisten käyttö?

Tätä termiä käytetään arvioimaan käyrän alla oleva pinta-ala, kiinteän aineen tilavuus, etäisyys, nopeus, kiihtyvyys, funktion keskiarvo ja minkä tahansa muodon pinta-ala. Tätä tarkoitusta varten käytät antijohdannaislaskuriamme.

Voiko integraali olla ääretön?

Joo! Mitä tahansa epämääräistä integraalia, joka on määritelty positiivisilla ja negatiivisilla rajoilla, sanotaan olevan ääretön. Voit myös arvioida tällaista integraatiota tällä vaiheittaisella integraalilaskimella.

Voitko ottaa jokaisen toiminnon integraalin?

Integraali voidaan ottaa vain jatkuvasta funktiosta. Syynä on, että tällainen funktio on määritelty ja näyttää käyrän alla olevan alueen.

Voiko integraali olla nolla?

Kyllä, se on vain määrätty integraali, joka voi olla joko positiivinen, negatiivinen tai nolla.

Mikä on E:n ja X:n antijohdannainen?

E^x:n antiderivaata kirjoitetaan muodossa ex + c, missä c on integrointivakio.

Onko integraali aina erotettavissa?

Voit erottaa vain jatkuvan funktion integraalin, joka on luonteeltaan määrittelemätön.

Miksi integraaleilla on vakio C?

Vakio C lisätään edustamaan niitä funktioita, joiden derivaatat ovat alkuperäiset funktiot.

Tärkeitä integraalikaavoja: