İntegral Hesaplama

Bu gelişmiş integral hesaplayıcı, çok değişkenli belirli ve belirsiz integralleri anında basitleştirir. Tek bir dokunuşla karmaşık fonksiyonların integral hesaplamasında yer alan adımları alın.

İntegral Nedir?

Kalkülüste:

"İntegral, tüm genellemelerle alan ve hacmi hesaplamak için kullanılan toplamla ilişkilidir". 

İntegral, bir fonksiyonun veya bir aralığın grafiğinin altındaki alandır. Aslında, integrali bulma süreci entegrasyon olarak bilinir ve türevlerin tersidir, bu yüzden anti türevler olarak da adlandırılır.

Antiderivatifler Nasıl Bulunur?

Adımlı antiderivatif hesaplayıcı, değişkenli herhangi bir ifadenin antiderivatifini bulur ve ayrıca aralıkların maksimum ve minimum değerleri ile üst ve alt sınırı gerçekleştirmeye yardımcı olur. 

Adımlarla çevrimiçi entegrasyon hesaplayıcımız, her türlü integrali basitleştirmenin en iyi yoludur. Ancak amacınız manuel hesaplamalarla ortaya çıkarsa, hem belirli hem de belirsiz entegrasyon tekniklerini kavramanız gerekir.

Kavramınızı netleştirmek için birkaç örneği çözelim!

Belirli İntegral:

Aşağıdaki belirli integrali adımlarla çözün

$$ \int_{0}^{1}\left( 3 x^{2} + x - 1 \right), dx $$

Çözüm:

Öncelikle, verilen integralin belirsiz integrasyonu için sonuçları elde etmemiz gerekir

$$ \int{\left(3 x^{2} + x - 1\right),dx} $$

$$ = x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right) $$

Belirli integral almanın temel teoremi şunu belirtir

$$ \int{a}^{b} F\left(x\right) dx = f\left(b\right)-f\left(a\right) $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 1\right)} = \frac{1}{2} $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 0\right)} = 0 $$

$$ \int_{0}^{1}\left(3 x^{2} + x - 1\right), dx $$

$$ = \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=1\right)}-\left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=0\right)} $$

$$ =\frac{1}{2} $$

Bu da gerekli cevaptır. Ayrıca, akıllı çevrimiçi integral hesaplayıcıyı kullanarak sonuçları göz açıp kapayıncaya kadar doğrulayabilirsiniz.

Belirsiz İntegral:

Aşağıda verilen integrali değerlendirin

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

Solution:

Şöyle bir varsayımda bulunalım

$$ u = x^{2} $$ 

Güç kuralını uygulayarak yukarıdaki denklemin karşıt türev formülünü hesaplamak:

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^(n-1) $$

Yerine n=2

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x^(2-1) $$

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x $$

Gibi $$ x^{2} = u $$

yani elimizde

$$ d\left(u\right) = \left(x^{2}\right) = 2xdx $$

$$ d\left(u\right) = xdx $$

Şimdi, karşıt türev kuralını uygulayalım:

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \int d\frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

Aşağıdaki gibi çarpma kuralını uygulamamız gerekir

$$ \int cf\left(u\right), du $$

$$ = c\int f\left(u\right), du $$

$$ \int \frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

$$ = \left(\frac{\int cos\left(u\right), du}{2}\right) $$

Kosinüsün integrali aşağıdaki gibi verilir

$$ \int cos \left(u\right), du = sin \left(u\right) $$

$$ int cos \left(u\right), du = \frac{sin\left(u\right)}{2} $$

Başlangıçta olduğu gibi

$$ u = x^{2} $$

$$ \frac{sin\left(u\right)}{2} = \frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \dfrac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

Burada C olan entegrasyon sabitinin eklenmesi

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = d\frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} + C $$

Bu, verilen fonksiyonun gerekli integral hesaplama ve belirsiz integral çözücü kullanılarak da doğrulanabilir.

İntegral Hesaplayıcının Çalışması:

Antiderivatif hesaplayıcımızı kullanarak herhangi bir fonksiyonun integralini alabilirsiniz. Sadece aşağıdaki girdileri girin ve anında integral hesaplamalarını alın!

Girişler:

• Fonksiyonu ilgili alana girin
• Komşu listeden ilgili değişkeni seçin
• İntegral türünü seçin 
• "Belirli İntegral "i seçerseniz, alt ve üst sınırları girin
• "Hesapla "ya dokunun

Çıktılar:

Online belirli integral hesaplayıcımız size aşağıdaki cevabı verecektir. 

• Belirli ve Belirsiz İntegraller 
• Gerçek ve hayali kısımları ile integrallerin grafikleri 
• Adımlarla integral sadeleştirme

Sıkça Sorulan Sorular:

Bir İntegralden Sayıları Çıkarabilir misiniz?

Evet, kesinlikle! Hesaplamaları kolaylaştırmak için sabit sayıları integrallerden çıkarabilirsiniz.

Örneğin, $$ \int 3y + 9 $$ integrali, 3 sayısını \(y + 3\) integrali ile çarpmamızla aynıdır.

Anti Türevler Ne İşe Yarar?

Bu terim, eğri altındaki alanı, bir katının hacmini, mesafeyi, hızı, ivmeyi, bir fonksiyonun ortalama değerini ve herhangi bir şeklin alanını tahmin etmek için kullanılır. Bu amaçla, anti türev hesaplayıcımızdan yardım alırsınız. 

Bir İntegral Sonsuz Olabilir mi?

Evet! Pozitif ve negatif limitlerle tanımlanan herhangi bir belirsiz integralin sonsuz olduğu söylenir. Bu tür bir entegrasyonu bu belirsiz integral hesaplayıcı ile adımlarla da değerlendirebilirsiniz.

Her Fonksiyonun İntegralini Alabilir misiniz?

Sadece sürekli bir fonksiyonun integrali alınabilir. Bunun nedeni, böyle bir fonksiyonun tanımlı olması ve eğrinin altındaki alanı göstermesidir.

Bir İntegral Sıfır Olabilir mi?

Evet, sadece belirli bir integral pozitif, negatif ya da sıfır olabilir. 

E'nin X'e göre Antiderivatifi Nedir?

e^x'in antiderivatifi ex + c şeklinde yazılır, burada c entegrasyon sabitidir.

Bir İntegral Her Zaman Türevlenebilir mi?

Sadece doğası gereği belirsiz olan sürekli bir fonksiyonun integralini türevlendirebilirsiniz.

İntegrallerde Neden C Sabiti Vardır?

C sabiti, türevleri orijinal fonksiyonlar olan fonksiyonları temsil etmek için eklenir.

Önemli İntegral Formülleri: