Калькулятор Интегралов

Этот усовершенствованный калькулятор интегралов мгновенно упрощает определённые и неопределённые интегралы с несколькими переменными. Получите инструкции по интегральному вычислению сложных функций одним касанием.

Что такое Интеграл?

В исчислении:

«Интеграл соотносится с суммой, которая используется для расчета площади и объема со всеми обобщениями».

Интеграл – это площадь под графиком функции или интервала. На самом деле процесс нахождения интеграла известен как интегрирование и является обратным производным, поэтому его также называют антипроизводными.

Как найти первообразные?

Калькулятор первообразных с шагами находит антипроизводную любого выражения с переменными, а также помогает реализовать верхнюю и нижнюю границу с максимальными и минимальными значениями интервалов.

Наш онлайн-калькулятор интегрирования с пошаговыми инструкциями — лучший способ упростить любой вид интеграла. Но если ваша цель связана с ручными вычислениями, вам следует освоить как определенные, так и неопределенные методы интегрирования.

Позвольте нам решить пару примеров, чтобы прояснить вашу концепцию!

Определенный интеграл:

Решите следующий определенный интеграл с помощью шагов

$$ \int_{0}^{1}\left( 3 x^{2} + x - 1 \right), dx $$

Решение:

Прежде всего нам необходимо получить результаты для неопределенного интегрирования заданного интеграла

$$ \int{\left(3 x^{2} + x - 1\right),dx} $$

$$ = x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right) $$

Основная теорема определенного интегрирования гласит, что

$$ \int{a}^{b} F\left(x\right) dx = f\left(b\right)-f\left(a\right) $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 1\right)} = \frac{1}{2} $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 0\right)} = 0 $$

$$ \int_{0}^{1}\left(3 x^{2} + x - 1\right), dx $$

$$ = \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=1\right)}-\left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=0\right)} $$

$$ =\frac{1}{2} $$

Какой ответ требуется. Вы также можете в мгновение ока проверить результаты с помощью интеллектуального онлайн-калькулятора интегралов.

Неопределенный интеграл:

Оцените интеграл, заданный, как показано ниже.

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

Решение:

Сделаем предположение, что

$$ u = x^{2} $$

Вычисление формулы первообразной приведенного выше уравнения с применением степенного правила:

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^(n-1) $$

Заменить n=2

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x^(2-1) $$

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x $$

Как $$ x^{2} = u $$

так что у нас есть

$$ d\left(u\right) = \left(x^{2}\right) = 2xdx $$

$$ d\left(u\right) = xdx $$

Теперь, применяя правило первообразной:

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \int d\frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

Нам нужно применить правило умножения, которое выглядит следующим образом:

$$ \int cf\left(u\right), du $$

$$ = c\int f\left(u\right), du $$

$$ \int \frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

$$ = \left(\frac{\int cos\left(u\right), du}{2}\right) $$

Поскольку интеграл косинуса задается следующим образом

$$ \int cos \left(u\right), du = sin \left(u\right) $$

$$ int cos \left(u\right), du = \frac{sin\left(u\right)}{2} $$

Как и в начале, мы позволяем

$$ u = x^{2} $$

$$ \frac{sin\left(u\right)}{2} = \frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \dfrac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

Добавив сюда константу интегрирования, которая равна C

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = d\frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} + C $$

Это необходимые интегральные вычисления данной функции, которые также можно проверить с помощью решателя неопределенного интеграла.

Работа интегрального калькулятора:

Используя наш калькулятор первообразных, вы можете получить интеграл от любой функции. Просто введите следующие данные и получите мгновенные интегральные вычисления!

Входы:

• Введите функцию в соответствующее поле.
• Выберите связанную переменную из соседнего списка
• Выберите тип интеграла
• Если вы выберете «Определенный интеграл», введите нижнюю и верхнюю границы.
• Нажмите «Рассчитать»

Выходы:

Наш онлайн-калькулятор определенного интеграла даст вам следующий ответ.

• Определенные и неопределенные интегралы
• Графики интегралов с их вещественными и мнимыми частями
• Интегральное упрощение с шагами

Часто задаваемые вопросы:

Можно ли извлечь числа из интеграла?

Да, безусловно! Вы можете вытащить постоянные числа из интегралов, чтобы упростить вычисления.

Например, интеграл $$ \int 3y + 9 $$ равен умножению числа 3 на интеграл \(y + 3\).

Каково использование антидеривативов?

Этот термин используется для оценки площади под кривой, объема твердого тела, расстояния, скорости, ускорения, среднего значения функции и площади любой формы. Для этого воспользуйтесь нашим калькулятором антидеривативов.

Может ли интеграл быть бесконечным?

Да! Любой неопределенный интеграл, имеющий положительные и отрицательные пределы, называется бесконечным. Вы также можете оценить такой вид интеграции с помощью этого пошагового калькулятора неопределенного интеграла.

Можете ли вы взять интеграл от каждой функции?

Интеграл можно взять только от непрерывной функции. Причина в том, что такая функция определена и отображает площадь под кривой.

Может ли интеграл быть нулем?

Да, это всего лишь определенный интеграл, который может быть как положительным, так и отрицательным или нулевым.

Что такое первообразная от E до X?

Первообразная e^x записывается в виде ex + c, где c — константа интегрирования.

Всегда ли интеграл дифференцируем?

Дифференцировать можно только интеграл от непрерывной функции, неопределенной по своей природе.

Почему интегралы имеют константу C?

Константа C добавляется для обозначения тех функций, производные которых являются исходными функциями.

Важные интегральные формулы: