Калькулятор Интегралов

Этот усовершенствованный калькулятор интегралов мгновенно упрощает определённые и неопределённые интегралы с несколькими переменными. Получите инструкции по интегральному вычислению сложных функций одним касанием.

Что такое Интеграл?

В исчислении:

«Интеграл соотносится с суммой, которая используется для расчета площади и объема со всеми обобщениями».

Интеграл – это площадь под графиком функции или интервала. На самом деле процесс нахождения интеграла известен как интегрирование и является обратным производным, поэтому его также называют антипроизводными.

Как найти первообразные?

Калькулятор первообразных с шагами находит антипроизводную любого выражения с переменными, а также помогает реализовать верхнюю и нижнюю границу с максимальными и минимальными значениями интервалов.

Наш онлайн-калькулятор интегрирования с пошаговыми инструкциями — лучший способ упростить любой вид интеграла. Но если ваша цель связана с ручными вычислениями, вам следует освоить как определенные, так и неопределенные методы интегрирования.

Позвольте нам решить пару примеров, чтобы прояснить вашу концепцию!

Определенный интеграл:

Решите следующий определенный интеграл с помощью шагов

$$ \int_{0}^{1}\left( 3 x^{2} + x - 1 \right), dx $$

Решение:

Прежде всего нам необходимо получить результаты для неопределенного интегрирования заданного интеграла

$$ \int{\left(3 x^{2} + x - 1\right),dx} $$

$$ = x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right) $$

Основная теорема определенного интегрирования гласит, что

$$ \int{a}^{b} F\left(x\right) dx = f\left(b\right)-f\left(a\right) $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 1\right)} = \frac{1}{2} $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 0\right)} = 0 $$

$$ \int_{0}^{1}\left(3 x^{2} + x - 1\right), dx $$

$$ = \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=1\right)}-\left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=0\right)} $$

$$ =\frac{1}{2} $$

Какой ответ требуется. Вы также можете в мгновение ока проверить результаты с помощью интеллектуального онлайн-калькулятора интегралов.

Неопределенный интеграл:

Оцените интеграл, заданный, как показано ниже.

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

Решение:

Сделаем предположение, что

$$ u = x^{2} $$

Вычисление формулы первообразной приведенного выше уравнения с применением степенного правила:

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^(n-1) $$

Заменить n=2

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x^(2-1) $$

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x $$

Как $$ x^{2} = u $$

так что у нас есть

$$ d\left(u\right) = \left(x^{2}\right) = 2xdx $$

$$ d\left(u\right) = xdx $$

Теперь, применяя правило первообразной:

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \int d\frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

Нам нужно применить правило умножения, которое выглядит следующим образом:

$$ \int cf\left(u\right), du $$

$$ = c\int f\left(u\right), du $$

$$ \int \frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

$$ = \left(\frac{\int cos\left(u\right), du}{2}\right) $$

Поскольку интеграл косинуса задается следующим образом

$$ \int cos \left(u\right), du = sin \left(u\right) $$

$$ int cos \left(u\right), du = \frac{sin\left(u\right)}{2} $$

Как и в начале, мы позволяем

$$ u = x^{2} $$

$$ \frac{sin\left(u\right)}{2} = \frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \dfrac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

Добавив сюда константу интегрирования, которая равна C

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = d\frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} + C $$

Это необходимые интегральные вычисления данной функции, которые также можно проверить с помощью решателя неопределенного интеграла.

Работа интегрального калькулятора:

Используя наш калькулятор первообразных, вы можете получить интеграл от любой функции. Просто введите следующие данные и получите мгновенные интегральные вычисления!

Входы:

Введите функцию в соответствующее поле.
Выберите связанную переменную из соседнего списка
Выберите тип интеграла
Если вы выберете «Определенный интеграл», введите нижнюю и верхнюю границы.
Нажмите «Рассчитать»

Выходы:

Наш онлайн-калькулятор определенного интеграла даст вам следующий ответ.

Определенные и неопределенные интегралы
Графики интегралов с их вещественными и мнимыми частями
Интегральное упрощение с шагами

Часто задаваемые вопросы:

Можно ли извлечь числа из интеграла?

Да, безусловно! Вы можете вытащить постоянные числа из интегралов, чтобы упростить вычисления.

Например, интеграл $$ \int 3y + 9 $$ равен умножению числа 3 на интеграл $y + 3$.

Каково использование антидеривативов?

Этот термин используется для оценки площади под кривой, объема твердого тела, расстояния, скорости, ускорения, среднего значения функции и площади любой формы. Для этого воспользуйтесь нашим калькулятором антидеривативов.

Может ли интеграл быть бесконечным?

Да! Любой неопределенный интеграл, имеющий положительные и отрицательные пределы, называется бесконечным. Вы также можете оценить такой вид интеграции с помощью этого пошагового калькулятора неопределенного интеграла.

Можете ли вы взять интеграл от каждой функции?

Интеграл можно взять только от непрерывной функции. Причина в том, что такая функция определена и отображает площадь под кривой.

Может ли интеграл быть нулем?

Да, это всего лишь определенный интеграл, который может быть как положительным, так и отрицательным или нулевым.

Что такое первообразная от E до X?

Первообразная e^x записывается в виде ex + c, где c — константа интегрирования.

Всегда ли интеграл дифференцируем?

Дифференцировать можно только интеграл от непрерывной функции, неопределенной по своей природе.

Почему интегралы имеют константу C?

Константа C добавляется для обозначения тех функций, производные которых являются исходными функциями.

Важные интегральные формулы:

Функции	Интеграция
∫1 dx	x + c
∫xⁿ dx	xⁿ⁺¹/ n+1 + c
∫a dx	ax + c
∫ (1/x) dx	lnx + c
∫ a^x dx	a^x / lna + c
∫ e^x dx	e^x + c
∫ sinx dx	-cosx + c
∫ cosx dx	sinx + c
∫ tanx dx	- ln\|cos x\| + c
∫ cosec²x dx	-cot x + c
∫ sec²x dx	tan x + c
∫ cotx dx	ln\|sinx\| + c
∫ (secx)(tanx) dx	secx + c
∫ (cosecx)(cotx) dx	-cosecx + c
∫ 1/(1-x²)^1/2 dx	sin^-1x + c
∫ 1/(1+x²)^1/2 dx	cos^-1x + c
∫ 1/(1+x²) dx	tan^-1x + c
∫ 1/\|x\|(x² - 1)^1/2 dx	cos^-1x + c

EN	ES	PT
ID	FR	TR
AR	RU	JA
PL	DE	IT
CS	KO	FI
DA	NO	SV
NL	EL	TH
VI	ZH	HU
BG	HI

EN	ES	PT
ID	FR	TR
AR	RU	JA
PL	DE	IT
CS	KO	FI
DA	NO	SV
NL	EL	TH
VI	ZH	HU
BG	HI

Калькулятор Интегралов

Что такое Интеграл?

Как найти первообразные?

Определенный интеграл:

Решение:

Неопределенный интеграл:

Решение:

Работа интегрального калькулятора:

Часто задаваемые вопросы:

Можно ли извлечь числа из интеграла?

Каково использование антидеривативов?

Может ли интеграл быть бесконечным?

Можете ли вы взять интеграл от каждой функции?

Может ли интеграл быть нулем?

Что такое первообразная от E до X?

Всегда ли интеграл дифференцируем?

Почему интегралы имеют константу C?

Важные интегральные формулы:

Сопутствующие калькуляторы