Kalkulator Całek

Ten zaawansowany kalkulator całkowy natychmiast upraszcza całki oznaczone i nieoznaczone z wieloma zmiennymi. Wykonaj kroki związane z obliczaniem całkowym skomplikowanych funkcji jednym dotknięciem.

Co to jest integralność?

W rachunku różniczkowym:

„Całka jest skorelowana z sumą używaną do obliczenia pola i objętości przy wszystkich uogólnieniach”.

Całka to obszar pod wykresem funkcji lub przedziału. W rzeczywistości proces znajdowania całki nazywany jest całkowaniem i jest odwrotnością pochodnych, dlatego nazywany jest również pochodnymi przeciwnymi.

Jak znaleźć funkcje pierwotne?

Kalkulator funkcji pierwotnej z krokami znajduje pochodną dowolnego wyrażenia ze zmiennymi, a także pomaga obliczyć górną i dolną granicę z maksymalnymi i minimalnymi wartościami przedziałów.

Nasz kalkulator całkowania online z krokami to najlepszy sposób na uproszczenie dowolnego rodzaju całki. Ale jeśli twoim celem są ręczne obliczenia, powinieneś opanować zarówno określone, jak i nieokreślone techniki integracji.

Rozwiążmy kilka przykładów, aby wyjaśnić Twoją koncepcję!

Określona całka:

Rozwiąż następującą całkę oznaczoną z krokami

$$ \int_{0}^{1}\left( 3 x^{2} + x - 1 \right), dx $$

Rozwiązanie:

Najpierw musimy otrzymać wyniki całkowania nieoznaczonego danej całki

$$ \int{\left(3 x^{2} + x - 1\right),dx} $$

$$ = x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right) $$

Podstawowe twierdzenie o całkowaniu określonym stwierdza, że

$$ \int{a}^{b} F\left(x\right) dx = f\left(b\right)-f\left(a\right) $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 1\right)} = \frac{1} {2} $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 0\right)} = 0 $$

$$ \int_{0}^{1}\left(3 x^{2} + x - 1\right), dx $$

$$ = \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=1\right)}-\left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=0\right)} $$

$$ =\frac{1}{2} $$

Która odpowiedź jest wymagana. Wyniki możesz także w mgnieniu oka zweryfikować, korzystając z inteligentnego kalkulatora całkowego online.

Całka nieoznaczona:

Oblicz całkę podaną zgodnie z poniżej

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

Rozwiązanie:

Załóżmy, że

$$ u = x^{2} $$

Obliczanie wzoru pierwotnego powyższego równania poprzez zastosowanie reguły potęgowej:

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^(n-1) $$

Zastąp n=2

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x^(2-1) $$

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x $$

Jak $$ x^{2} = u $$

więc mamy

$$ d\left(u\right) = \left(x^{2}\right) = 2xdx $$

$$ d\left(u\right) = xdx $$

Teraz, stosując regułę pierwotną:

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \int d\frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

Musimy zastosować zasadę mnożenia, która jest następująca

$$ \int cf\left(u\right), du $$

$$ = c\int f\left(u\right), du $$

$$ \int \frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

$$ = \left(\frac{\int cos\left(u\right), du}{2}\right) $$

Całkę cosinusa podaje się w następujący sposób

$$ \int cos \left(u\right), du = sin \left(u\right) $$

$$ int cos \left(u\right), du = \frac{sin\left(u\right)}{2} $$

Podobnie jak na początku, pozwalamy

$$ u = x^{2} $$

$$ \frac{sin\left(u\right)}{2} = \frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \dfrac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

Dodając tutaj stałą całkowania, która wynosi C

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = d\frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} + C $$

Który jest wymaganym obliczeniem całkowym danej funkcji i można go również sprawdzić za pomocą solwera całki nieoznaczonej.

Działanie kalkulatora całkowego:

Aby skorzystać z naszego kalkulatora funkcji pierwotnej, możesz obliczyć całkę dowolnej funkcji. Wystarczy wprowadzić następujące dane wejściowe i uzyskać natychmiastowe obliczenia całkowe!

Wejścia:

• Wprowadź funkcję w odpowiednim polu
• Wybierz powiązaną zmienną z sąsiedniej listy
• Wybierz typ całki
• Jeśli wybierzesz „Całka oznaczona”, wprowadź dolną i górną granicę
• Kliknij „Oblicz”

Wyjścia:

Nasz internetowy kalkulator całki oznaczonej da Ci następującą odpowiedź.

• Całki oznaczone i nieoznaczone
• Wykresy całek z ich częściami rzeczywistymi i urojonymi
• Integralne uproszczenie za pomocą kroków

Często zadawane pytania:

Czy potrafisz wyciągnąć liczby z całki?

Tak, zdecydowanie! Możesz przeciągnąć liczby stałe z całek, aby ułatwić obliczenia.

Na przykład całka $$ \int 3y + 9 $$ jest równa mnożeniu liczby 3 przez całkę \(y + 3\).

Jaki jest pożytek z instrumentów pochodnych?

Terminem tym określa się pole pod krzywą, objętość bryły, odległość, prędkość, przyspieszenie, wartość średnią funkcji oraz pole dowolnego kształtu. W tym celu możesz skorzystać z naszego kalkulatora antypochodnego.

Czy całka może być nieskończona?

Tak! Całkę nieoznaczoną zdefiniowaną za pomocą granic dodatnich i ujemnych nazywa się nieskończoną. Możesz także ocenić tego rodzaju całkowanie za pomocą kalkulatora całki nieoznaczonej z krokami.

Czy potrafisz przyjąć całkę każdej funkcji?

Całkę można przyjąć tylko z funkcji ciągłej. Powodem jest to, że taka funkcja jest zdefiniowana i wyświetla pole pod krzywą.

Czy całka może wynosić zero?

Tak, jest to tylko całka oznaczona, która może być dodatnia, ujemna lub zerowa.

Co to jest funkcja pierwotna E do X?

Funkcja pierwotna e^x jest zapisywana w postaci ex + c, gdzie c jest stałą całkowania.

Czy całka jest zawsze różniczkowalna?

Całkę różniczkować można jedynie w przypadku funkcji ciągłej, która ma charakter nieokreślony.

Dlaczego całki mają stałą C?

Stała C jest dodawana, aby przedstawić te funkcje, których pochodne są funkcjami pierwotnymi.

Ważne wzory całkowe: