AdBlocker Detected
adblocker detected
Calculatored depends on revenue from ads impressions to survive. If you find calculatored valuable, please consider disabling your ad blocker or pausing adblock for calculatored.
ADVERTISEMENT
ADVERTISEMENT

Υπολογιστής παραγώγων

CLR + × ÷ ^ ( )
Παράγωγο
ADVERTISEMENT
ADVERTISEMENT

Η αριθμομηχανή παραγώγων μας σάς βοηθά να διαφοροποιήσετε μια συνάρτηση σε σχέση με οποιαδήποτε μεταβλητή. Εισαγάγετε οποιαδήποτε συνάρτηση (αριθμητική, λογαριθμική ή τριγωνομετρική) και λάβετε βήμα προς βήμα λύση για διαφοροποίηση. Όχι μόνο αυτό, αλλά ο υπολογιστής σημειογραφίας Leibniz θα σκιαγραφήσει γραφικά και θα υπολογίσει τον τομέα, το εύρος, την ισοτιμία και άλλες σχετικές παραμέτρους.

Τι είναι το Παράγωγο;

Στον λογισμό:

"Ο ρυθμός με τον οποίο μια συνάρτηση εμφανίζει μια αλλαγή σε σχέση με τη μεταβλητή είναι γνωστή ως η παράγωγος της συνάρτησης"

Βασικά, ο όρος διαφοροποίηση είναι η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου της συνάρτησης. Η παράγωγος είναι ο ρυθμός ευαισθησίας στον οποίο η συνάρτηση δείχνει μια αξιοσημείωτη αλλαγή στην έξοδο όταν εισάγεται μια συγκεκριμένη αλλαγή στην είσοδο.

Κανόνες διαφοροποίησης:

Για τον υπολογισμό της παραγώγου οποιασδήποτε συνάρτησης, αυτή η αριθμομηχανή παραγώγων με βήματα εφαρμόζει ορισμένους κανόνες που περιλαμβάνουν τους ακόλουθους

Κανόνας ισχύος:

$$ \frac {d} {dx} x^n = nx^{n-1} $$

Κανόνας αθροίσματος:

$$ x + y = x^{'} + y^{'} $$

Κανόνας διαφοράς:

$$ x – y = x^{’} – y^{’} $$

Κανόνας προϊόντος:

$$ x*y = x*y^{'} + x^{'}*y $$

Κανόνας πηλίκου:

$$ (\frac {x}{y})^{'} = \frac {xy^{'} – x^{’}y}{y^{2}} $$

Αμοιβαίος κανόνας:

$$ \frac {1}{w} = \frac{-fw^{'}} {w^{2}} $$

Κανόνας της αλυσίδας:

$$ f\left(g\left(x\right)\right) = f^{'}\left(g\left(x\right)\right)g^{'}\left(x\right) $$

Εάν θέλετε να διαφοροποιήσετε μια συνάρτηση, τότε έχετε κατά νου ότι οι απαραίτητοι υπολογισμοί περιστρέφονται μόνο γύρω από αυτές τις εξισώσεις που αναφέρονται παραπάνω. Σε περίπτωση οποιουδήποτε εμποδίου, μπορείτε να συνεχίσετε να χρησιμοποιείτε αυτόν τον υπολογιστή διαφοροποίησης που παράγει άμεσα αποτελέσματα με 100% ακρίβεια.

Άλλοι σημαντικοί κανόνες:

Ο υπολογιστής σημειογραφίας Leibniz χρησιμοποιεί τον ακόλουθο πίνακα που είναι γεμάτος με όλους τους πιθανούς κανόνες που χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης:

Κοινές λειτουργίες Λειτουργία Παράγωγο
Σταθερά c 0
Γραμμή x 1
- ax a
Τετράγωνο x2 2x
Τετραγωνική ρίζα √x (½)x
Εκθετικό ex ex
- ax ln(a) ax
Λογάριθμοι ln(x) 1/x
- loga(x) 1 / (x ln(a))
Τριγωνομετρία (το x είναι σε ακτίνια) sin(x) cos(x)
- cos(x) −sin(x)
- tan(x) sec2(x)
Αντίστροφη τριγωνομετρία sin-1(x) 1/√(1&μείον;x2)
- cos-1(x) &μείον;1/√(1&μείον;x2)
- tan-1(x) 1/(1+x2)
- - -

Αυτοί οι κανόνες είναι πολύτιμοι όταν πρέπει να βρείτε τη διπλή, τριπλή ή υψηλότερης τάξης παράγωγο. Επίσης, όσο μεγαλύτερη είναι η σειρά διαφοροποίησης, τόσο πιο περίπλοκοι γίνονται οι υπολογισμοί. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η χρήση αυτής της επίλυσης παραγώγων όχι μόνο θα επιταχύνει τους υπολογισμούς σας αλλά θα διατηρήσει και την ακρίβεια του τελικού αποτελέσματος.

Πώς να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης;

Ας λύσουμε ένα παράδειγμα για να διευκρινίσουμε την έννοια της διαφοροποίησης!

Παράδειγμα #01:

Να υπολογίσετε την παράγωγο της παρακάτω τριγωνομετρικής συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή x.

$$ \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$

Λύση:

Όπως είναι η δεδομένη συνάρτηση

$$ \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$

Για να έχετε άμεσα αποτελέσματα, μπορείτε να αφήσετε αυτήν την παράγωγο της αριθμομηχανής τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Εν πάση περιπτώσει, για να βρούμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης χειροκίνητα, πρέπει να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου. Έχουμε λοιπόν:

$$ \frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right) } \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{ g^{2}{\left(x \right)}} $$

Όπως έχουμε

$$ f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} $$ και

$$ g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$

Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, θα χρησιμοποιήσουμε τις εναλλακτικές μορφές του tan(x) που είναι

$$ \tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$

Εφαρμογή κανόνα πηλίκου όπως χρησιμοποιείται από τον ανιχνευτή παραγώγων:

$$ \frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right) } \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{ g^{2}{\left(x \right)}} $$

$$ f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} $$

$$ g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$

Η παράγωγος s του sin(x) και του cos(x) υπολογίζεται ως:

$$ \frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$

$$ \frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} $$

Βάζοντας όλες τις τιμές παραγώγων στον κανόνα του πηλίκου:

$$ \frac{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right) )}} + \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} $$

Απλοποίηση της έκφρασης για να ληφθεί το τελικό αποτέλεσμα ως:

$$ \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cos^{3}{\left(x \right)}} $$

Ποια είναι η απαιτούμενη παράγωγος της δεδομένης τριγωνομετρικής συνάρτησης. Εάν αναζητάτε άμεσους υπολογισμούς, σας συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε τη δωρεάν διαφορική αριθμομηχανή μας.

Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτήν την αριθμομηχανή παραγώγων;

Για να βρείτε μια παράγωγο χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή διαφοροποίησης, πρέπει να ακολουθήσετε τον οδηγό που αναφέρεται παρακάτω:

Εισαγωγή:

  • Εισαγάγετε τη συνάρτηση στο καθορισμένο πεδίο (Μπορείτε επίσης να φορτώσετε ένα παράδειγμα εάν δεν έχει κάποια συγκεκριμένη λειτουργία)
  • Από την επόμενη λίστα, επιλέξτε τη μεταβλητή σε σχέση με την οποία θέλετε να προσδιορίσετε την παράγωγο
  • Εισαγάγετε τη σειρά των επαναλήψεων διαφοροποίησης που θέλετε
  • Πατήστε Υπολογισμός

Παραγωγή:

  • Παράγωγο σε σχέση με μεταβλητή
  • Γραφικές παραστάσεις
  • Διευρυμένες και εναλλακτικές μορφές
  • Τομέας και εύρος
  • Παγκόσμια ελάχιστα και μέγιστα
  • Επέκταση σειράς
  • Βήμα προς βήμα υπολογισμοί

Συχνές ερωτήσεις:

Ποια είναι τα παράγωγα των sin(x) και cos(x);

Τα παράγωγα των sin(x) και cos(x) είναι cos(x) και -sin(x), αντίστοιχα.

ADVERTISEMENT
ADVERTISEMENT