Unser Ableitungsrechner hilft Ihnen, eine Funktion nach einer beliebigen Variablen zu differenzieren. Geben Sie eine beliebige Funktion ein (arithmetisch, logarithmisch oder trigonometrisch) und erhalten Sie Schritt für Schritt eine Lösung für die Differenzierung. Darüber hinaus skizziert der Leibniz-Notationsrechner Diagramme und berechnet Domäne, Bereich, Parität und andere verwandte Parameter.
Was ist ein Derivat?
In der Analysis:
„Die Geschwindigkeit, mit der sich eine Funktion in Bezug auf die Variable ändert, wird als Ableitung der Funktion bezeichnet.“
Grundsätzlich bezeichnet der Begriff Differentiation den Vorgang, die Ableitung einer Funktion zu finden. Die Ableitung ist die Empfindlichkeitsrate, bei der die Funktion eine bemerkenswerte Änderung in der Ausgabe zeigt, wenn eine bestimmte Änderung in die Eingabe eingeführt wird.
Differenzierungsregeln:
Um die Ableitung einer Funktion zu berechnen, wendet dieser Ableitungsrechner mit Schritten bestimmte Regeln an, darunter die folgenden
Machtregel:
$$ \frac {d} {dx} x^n = nx^{n-1} $$
Summenregel:
$$ x + y = x^{’} + y^{’} $$
Differenzregel:
$$ x – y = x^{’} – y^{’} $$
Produktregel:
$$ x*y = x*y^{’} + x^{’}*y $$
Quotientenregel:
$$ (\frac {x}{y})^{’} = \frac {xy^{’} – x^{’}y}{y^{2}} $$
Gegenseitige Regel:
$$ \frac {1}{w} = \frac{-fw^{’}} {w^{2}} $$
Kettenregel:
$$ f\left(g\left(x\right)\right) = f^{'}\left(g\left(x\right)\right)g^{'}\left(x\right) $$
Wenn Sie eine Funktion differenzieren möchten, dann bedenken Sie, dass sich die notwendigen Berechnungen nur um diese oben genannten Gleichungen drehen. Im Falle einer Hürde können Sie weiterhin diesen Differenzierungsrechner verwenden, der sofortige Ergebnisse mit 100 %iger Genauigkeit liefert.
Weitere wichtige Regeln:
Unser Leibniz-Notationsrechner verwendet die folgende Tabelle, die alle möglichen Regeln zur Bestimmung der Ableitung einer Funktion enthält:
| Gemeinsame Funktionen | Funktion | Ableitung |
|---|---|---|
| Konstante | c | 0 |
| Linie | x | 1 |
| - | Axt | a |
| Quadrat | x2 | 2x |
| Quadratwurzel | √x | (½)x-½ |
| Exponentiell | ex | ex |
| - | ax | ln(a) ax |
| Logarithmen | ln(x) | 1/x |
| - | loga(x) | 1 / (x ln(a)) |
| Trigonometrie (x ist im Bogenmaß) | sin(x) | cos(x) |
| - | cos(x) | −sin(x) |
| - | tan(x) | Sekunden2(x) |
| Inverse Trigonometrie | sin-1(x) | 1/√(1−x2) |
| - | cos-1(x) | −1/√(1−x2) |
| - | tan-1(x) | 1/(1+x2) |
| - | - | - |
Diese Regeln sind nützlich, wenn Sie die doppelte, dreifache oder höhere Ableitung finden müssen. Außerdem werden die Berechnungen umso komplizierter, je höher die Reihenfolge der Differenzierung ist. Aus diesem Grund beschleunigt die Verwendung dieses Ableitungslösers nicht nur Ihre Berechnungen, sondern behält auch die Genauigkeit des Endergebnisses bei.
Wie finde ich die Ableitung einer Funktion?
Lassen Sie uns ein Beispiel auflösen, um Ihr Konzept der Differenzierung zu verdeutlichen!
Beispiel Nr. 01:
Berechnen Sie die Ableitung der folgenden trigonometrischen Funktion nach der Variablen x.
$$ \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$
Lösung:
Wie die gegebene Funktion ist
$$ \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$
Um sofortige Ergebnisse zu erhalten, können Sie diese Ableitung der trigonometrischen Funktionen berechnen lassen.
Um die Ableitung dieser Funktion manuell zu ermitteln, müssen wir jedoch die Quotientenregel anwenden. Also haben wir:
$$ \frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right) } \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{ g^{2}{\left(x \right)}} $$
Wie wir haben
$$ f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} $$ und
$$ g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$
Um die Berechnungen zu vereinfachen, verwenden wir die alternativen Formen von tan(x).
$$ \tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$
Anwendung der Quotientenregel, wie sie von unserem Ableitungsfinder verwendet wird:
$$ \frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right) } \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{ g^{2}{\left(x \right)}} $$
$$ f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} $$
$$ g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$
Die Ableitung s von sin(x) und cos(x) wird wie folgt berechnet:
$$ \frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$
$$ \frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} $$
Einsetzen aller Ableitungswerte in die Quotientenregel:
$$ \frac{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right )}} + \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} $$
Vereinfachen Sie den Ausdruck, um das Endergebnis wie folgt zu erhalten:
$$ \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cos^{3}{\left(x \right)}} $$
Welches ist die erforderliche Ableitung der gegebenen trigonometrischen Funktion. Wenn Sie sofortige Berechnungen wünschen, empfehlen wir Ihnen die Verwendung unseres kostenlosen Differenzrechners.
Wie verwende ich diesen Ableitungsrechner?
Um eine Ableitung mit dem Differenzrechner zu finden, müssen Sie der folgenden Anleitung folgen:
Eingang:
- Geben Sie die Funktion in das dafür vorgesehene Feld ein (Sie können auch ein Beispiel laden, wenn Sie keine bestimmte Funktion haben)
- Wählen Sie aus der nächsten Liste die Variable aus, nach der Sie die Ableitung bestimmen möchten
- Geben Sie die gewünschte Reihenfolge der Differenzierungswiederholungen ein
- Tippen Sie auf Berechnen
Ausgabe:
- Ableitung nach Variable
- Grafiken
- Erweiterte und alternative Formen
- Domäne und Bereich
- Globale Minima und Maxima
- Serienerweiterung
- Schritt-für-Schritt-Berechnungen
FAQs:
Was ist die Ableitung von sin(x) und cos(x)?
Die Ableitungen von sin(x) und cos(x) sind cos(x) bzw. -sin(x). Sie können dies auch mit unserem Ableitungsrechner mit Schritten überprüfen.