Наш калькулятор производных поможет вам дифференцировать функцию по любой переменной. Введите любую функцию (арифметическую, логарифмическую или тригонометрическую) и получите пошаговое решение дифференцирования. Мало того, калькулятор нотации Лейбница будет рисовать графики и рассчитывать область определения, диапазон, четность и другие связанные параметры.
Что такое производная?
В исчислении:
«Скорость, с которой функция изменяется по отношению к переменной, называется производной функции»
По сути, термин дифференцирование — это процесс нахождения производной функции. Производная — это уровень чувствительности, при котором функция демонстрирует заметное изменение выходных данных при внесении определенного изменения во входные данные.
Правила дифференциации:
Чтобы вычислить производную любой функции, этот калькулятор производных с пошаговыми инструкциями применяет определенные правила, которые включают в себя следующие:
Правило мощности:
$$ \frac {d} {dx} x^n = nx^{n-1} $$
Правило суммы:
$$ x + y = x^{’} + y^{’} $$
Правило различия:
$$ x – y = x^{’} – y^{’} $$
Правило продукта:
$$ x*y = x*y^{’} + x^{’}*y $$
Правило частностей:
$$ (\frac {x}{y})^{’} = \frac {xy^{’} – x^{’}y}{y^{2}} $$
Взаимное правило:
$$ \frac {1}{w} = \frac{-fw^{’}} {w^{2}} $$
Правило цепи:
$$ f\left(g\left(x\right)\right) = f^{'}\left(g\left(x\right)\right)g^{'}\left(x\right) $$
Если вы хотите дифференцировать функцию, то имейте в виду, что необходимые вычисления вращаются только вокруг тех уравнений, которые упомянуты выше. В случае каких-либо препятствий вы можете продолжить использовать этот калькулятор дифференциации, который дает немедленные результаты со 100% точностью.
Другие важные правила:
В нашем калькуляторе обозначений Лейбница используется следующая таблица, в которой указаны все возможные правила, используемые при определении производной функции:
| Общие функции | Функция | Производная |
|---|---|---|
| Константа | c | 0 |
| Линия | x | 1 |
| - | топор | а |
| Квадрат | x2 | 2x |
| Квадратный корень | √x | (½)x-½ |
| Экспоненциальный | ex | ex |
| - | ax | ln(a) ax |
| Логарифмы | ln(x) | 1/x |
| - | loga(x) | 1 / (x ln(a)) |
| Тригонометрия (x в радианах) | грех(x) | cos(x) |
| - | cos(x) | &минус;sin(x) |
| - | tan(x) | сек2(x) |
| Обратная тригонометрия | sin-1(x) | 1/√(1−x2) |
| - | cos-1(x) | −1/√(1−x2) |
| - | tan-1(x) | 1/(1+x2) |
| - | - | - |
Эти правила полезны, когда вам нужно найти двойную, тройную производную или производную более высокого порядка. Кроме того, чем больше порядок дифференцирования, тем сложнее становятся вычисления. Вот почему использование этого решателя производных не только ускорит ваши вычисления, но и сохранит точность конечного результата.
Как найти производную функции?
Давайте разберем пример, чтобы прояснить вашу концепцию дифференциации!
Пример №01:
Вычислите производную следующей тригонометрической функции по переменной x.
$$ \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$
Решение:
Поскольку данная функция
$$ \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$
Чтобы получить немедленные результаты, вы можете использовать эту производную калькулятора тригонометрических функций.
В любом случае, чтобы найти производную этой функции вручную, нам нужно применить правило фактора. Итак, у нас есть:
$$ \frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right) } \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{ g^{2}{\left(x \right)}} $$
Как у нас есть
$$ f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} $$ и
$$ g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$
Чтобы упростить вычисления, мы будем использовать альтернативные формы tan(x), которые
$$ \tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$
Применение правила частного, используемого в нашем средстве поиска производных:
$$ \frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right) } \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{ g^{2}{\left(x \right)}} $$
$$ f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} $$
$$ g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$
Производная s от sin(x) и cos(x) рассчитывается как:
$$ \frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$
$$ \frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} $$
Помещаем все производные значения в правило частного:
$$ \frac{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right) )}} + \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} $$
Упрощая выражение, чтобы получить окончательный результат:
$$ \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cos^{3}{\left(x \right)}} $$
Что является искомой производной данной тригонометрической функции. Если вам нужны мгновенные расчеты, мы рекомендуем вам использовать наш бесплатный дифференциальный калькулятор.
Как использовать этот производный калькулятор?
Чтобы найти производную с помощью калькулятора дифференциала, вам необходимо следовать приведенному ниже руководству:
Вход:
- Введите функцию в назначенное поле (вы также можете загрузить пример, если у вас нет какой-либо конкретной функции)
- Из следующего списка выберите переменную, по которой вы хотите определить производную.
- Введите желаемый порядок повторений дифференцирования
- Нажмите «Рассчитать»
Выход:
- Производная по переменной
- Графики
- Расширенные и альтернативные формы
- Домен и диапазон
- Глобальные минимумы и максимумы
- Расширение серии
- Пошаговые расчеты
Часто задаваемые вопросы:
Какова производная sin(x) и cos(x)?
Производные sin(x) и cos(x) — это cos(x) и -sin(x) соответственно. Вы также можете проверить это с помощью нашего калькулятора производных с пошаговыми инструкциями.