Βρείτε την αναμενόμενη τιμή (EV) για τη μεταβλητή Random (X) χρησιμοποιώντας αυτόν τον υπολογιστή αναμενόμενης τιμής. Λειτουργεί για την εκτίμηση του πιθανού μέσου αποτελέσματος ή της τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής με βάση διαφορετικά πιθανά αποτελέσματα. Επίσης, μπορείτε να λάβετε βήμα προς βήμα υπολογισμούς για την κατανομή πιθανοτήτων.
Ποια είναι η αναμενόμενη αξία;
Η αναμενόμενη τιμή είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ή η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής με βάση όλα τα διάφορα πιθανά αποτελέσματα που εμφανίζονται συχνά.
Στις πιθανότητες και τις στατιστικές, ο υπολογιστής αναμενόμενης τιμής είναι επίσης γνωστός ως υπολογιστής προσδοκίας.
Για παράδειγμα:
Σκεφτείτε το σαν να γυρίζετε ένα νόμισμα, υπάρχει 50% πιθανότητα να πάρετε κεφάλια και 50% πιθανότητα να πάρετε ουρές. Η αναμενόμενη τιμή δεν είναι ακριβώς τα κεφάλια ή οι ουρές, αλλά κάπου ενδιάμεσα.
Σε αυτήν την περίπτωση, η αναμενόμενη τιμή θα είναι 0,5 σύμφωνα με τον τύπο που έχουμε συζητήσει παρακάτω.
Τύπος αναμενόμενης αξίας
\( E(X) = \mu_x = x_{1}P(x_1) + x_{2}P(x_2) + … + x_{n}P(x_n) \)
Χρησιμοποιώντας το πρόσημο άθροισης, η παραπάνω εξίσωση μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:
\( E(X) = \mu_x = \sum_{i=1}^{n} x_i * P(x_i) \)
Οπου,
- \(E(X)\): Αντιπροσωπεύει την αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής X
- \(\mu_x\): Δείχνει τη μέση τιμή του X
- \(\sum\): Σύμβολο για άθροιση
- \(P(x_i)\): Αντιπροσωπεύει την πιθανότητα της τιμής \((x_i)\)
- \(n\): Ο αριθμός όλων των πιθανών αποτελεσμάτων
- \(x_i\): Αναφέρεται ως το αποτέλεσμα \(i^{th}\) της τυχαίας μεταβλητής X
- \(i\): Δηλώνει το πιθανό αποτέλεσμα της τυχαίας μεταβλητής X
Πώς υπολογίζετε την αναμενόμενη τιμή;
Παράδειγμα:
Ένα ζάρι έχει έξι πλευρές και κάθε πλευρά έχει έναν αριθμό όπως 1, 2, 3, 4, 5 ή 6.
Τώρα, ας πούμε ότι ρίχνεις αυτό το ζάρι. Τι νούμερο θα πάρεις; Επειδή κάθε αριθμός έχει ίσες πιθανότητες να εμφανιστεί.
Ας το υπολογίσουμε:
Τα πιθανά αποτελέσματα είναι οι αριθμοί από το 1 έως το 6.
Η πιθανότητα να λάβετε οποιονδήποτε μεμονωμένο αριθμό είναι 1/6 επειδή υπάρχουν έξι πλευρές στα ζάρια.
Τώρα, ας βρούμε την αναμενόμενη τιμή χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Αναμενόμενη τιμή E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6)
Αναμενόμενη τιμή E(X) = 21/6 = 3,5
Πίνακας Ε(Χ):
| Αποτέλεσμα (X) | Πιθανότητα P(X) | Σταθμισμένο άθροισμα: \(x_i * P(x_i)\) |
|---|---|---|
| 1 | 1/6 | 1/6 |
| 2 | 1/6 | 2/6 |
| 3 | 1/6 | 3/6 |
| 4 | 1/6 | 4/6 |
| 5 | 1/6 | 5/6 |
| 6 | 1/6 | 6/6 |
| Σύνολο | 1 | 21/6 |
| Αναμενόμενη τιμή E(X) | 3.5 | |
Έτσι, όταν ρίχνετε τα ζάρια πολλές φορές, μπορείτε να περιμένετε ότι η μέση τιμή θα είναι περίπου 3,5. Μπορείτε ακόμη και να το ελέγξετε σωστά προσθέτοντας τις ίδιες τιμές στον υπολογιστή αναμενόμενων τιμών μας.
Βήματα για να χρησιμοποιήσετε αυτήν την αριθμομηχανή:
Βήμα 1: Εισαγάγετε τις τιμές για την πιθανότητα του P(X) και τις τιμές της μεταβλητής X στα καθορισμένα πλαίσια.
Βήμα 2: Κάντε κλικ στην επιλογή Υπολογισμός
Βήμα 3: Τέλος, αυτός ο υπολογιστής αναμενόμενης τιμής παρέχει τον πίνακα Αναμενόμενης τιμής E (X) μαζί με υπολογισμούς βήμα προς βήμα.
Συχνές ερωτήσεις
Μπορεί η αναμενόμενη τιμή να είναι αρνητική;
Ναι, η αναμενόμενη τιμή μπορεί να είναι αρνητική. Σκεφτείτε ένα σενάριο όπου παίζετε ένα παιχνίδι με δύο πιθανά αποτελέσματα: να κερδίσετε ή να χάσετε χρήματα. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει 60% πιθανότητα να κερδίσετε $10 και 40% πιθανότητα να χάσετε $15.
Σε αυτήν την περίπτωση, η αναμενόμενη τιμή θα είναι:
- Αναμενόμενη τιμή = 0,60 × 10 + 0,40 × (− 15) = −1
Αυτή η αρνητική αναμενόμενη τιμή σημαίνει ότι, κατά μέσο όρο, μπορείτε να περιμένετε να χάσετε 1 $ ανά παιχνίδι λόγω των πιθανοτήτων και των τιμών που σχετίζονται με κάθε αποτέλεσμα.
Τι σημαίνει αν η αναμενόμενη τιμή είναι μηδέν;
Εάν η αναμενόμενη τιμή είναι μηδέν, υποδηλώνει ότι το μέσο αποτέλεσμα μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ίσο με μηδέν. Με άλλα λόγια, το άθροισμα των γινομένων κάθε πιθανού αποτελέσματος και της πιθανότητας του είναι ίσο με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι τα θετικά και αρνητικά αποτελέσματα εξισορροπούνται, πράγμα που δεν οδηγεί σε κέρδος ή απώλεια σε μεγάλο αριθμό δοκιμών.