Nasz kalkulator pochodnych pomaga różniczkować funkcję względem dowolnej zmiennej. Wprowadź dowolną funkcję (arytmetyczną, logarytmiczną lub trygonometryczną) i uzyskaj krok po kroku rozwiązanie różniczkowania. Nie tylko to, ale kalkulator notacji Leibniza naszkicuje wykresy i obliczy dziedzinę, zakres, parzystość i inne powiązane parametry.
Co to jest instrument pochodny?
W rachunku różniczkowym:
„Szybkość, z jaką funkcja wykazuje zmianę względem zmiennej, nazywana jest pochodną funkcji”
Zasadniczo termin różniczkowanie to proces znajdowania pochodnej funkcji. Pochodna to współczynnik czułości, przy którym funkcja wykazuje zauważalną zmianę na wyjściu, gdy na wejściu zostanie wprowadzona pewna zmiana.
Zasady różnicowania:
Aby obliczyć pochodną dowolnej funkcji, ten kalkulator pochodnej z krokami stosuje pewne zasady, które obejmują poniższe
Zasada mocy:
$$ \frac {d} {dx} x^n = nx^{n-1} $$
Reguła sumy:
$$ x + y = x^{’} + y^{’} $$
Zasada różnicy:
$$ x – y = x^{’} – y^{’} $$
Zasada produktu:
$$ x*y = x*y^{’} + x^{’}*y $$
Zasada ilorazu:
$$ (\frac {x}{y})^{’} = \frac {xy^{’} – x^{’}y}{y^{2}} $$
Zasada wzajemności:
$$ \frac {1}{w} = \frac{-fw^{’}} {w^{2}} $$
Zasada łańcuchowa:
$$ f\left(g\left(x\right)\right) = f^{'}\left(g\left(x\right)\right)g^{'}\left(x\right) $ $
Jeśli chcesz różnicować funkcję, pamiętaj, że niezbędne obliczenia dotyczą tylko tych równań, które zostały wymienione powyżej. W przypadku jakichkolwiek przeszkód możesz dalej korzystać z kalkulatora różnicowania, który generuje natychmiastowe wyniki ze 100% dokładnością.
Inne ważne zasady:
Nasz kalkulator notacji Leibniza korzysta z poniższej tabeli zawierającej wszystkie możliwe zasady stosowane do wyznaczania pochodnej funkcji:
| Wspólne funkcje | Funkcja | Instrument pochodny |
|---|---|---|
| Stała | c | 0 |
| Linia | x | 1 |
| - | topór | a |
| Kwadrat | x2 | 2x |
| Pierwiastek kwadratowy | √x | (½)x-½ |
| Wykładniczy | ex | ex |
| - | ax | ln(a) ax |
| Logarity | ln(x) | 1/x |
| - | loga(x) | 1 / (x ln(a)) |
| Trygonometria (x wyrażone jest w radianach) | grzech(x) | cos(x) |
| - | cos(x) | −sin(x) |
| - | tan(x) | sek2(x) |
| Odwrotna trygonometria | sin-1(x) | 1/√(1−x2) |
| - | cos-1(x) | −1/√(1−x2) |
| - | tan-1(x) | 1/(1+x2) |
| - | - | - |
Zasady te są przydatne, gdy trzeba znaleźć pochodną podwójną, potrójną lub pochodną wyższego rzędu. Ponadto im większa jest kolejność różnicowania, tym bardziej skomplikowane stają się obliczenia. Dlatego użycie tego narzędzia do rozwiązywania pochodnych nie tylko przyspieszy obliczenia, ale także zachowa dokładność wyniku końcowego.
Jak znaleźć pochodną funkcji?
Rozwiążmy przykład, aby wyjaśnić Twoją koncepcję różnicowania!
Przykład nr 01:
Oblicz pochodną poniższej funkcji trygonometrycznej po zmiennej x.
$$ \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$
Rozwiązanie:
Jak dana funkcja
$$ \frac{\tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$
Aby uzyskać natychmiastowe wyniki, możesz pozwolić sobie na tę pochodną kalkulatora funkcji trygonometrycznych.
Tak czy inaczej, aby ręcznie znaleźć pochodną tej funkcji, musimy zastosować regułę ilorazu. Więc mamy:
$$ \frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}} $$
Tak jak my
$$ f{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} $$ and
$$ g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$
Aby uprościć obliczenia, użyjemy alternatywnych form tan(x), czyli
$$ \tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} $$
Stosowanie reguły ilorazu stosowanej przez naszą wyszukiwarkę instrumentów pochodnych:
$$ \frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}} $$
$$ f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} $$
$$ g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$
Pochodne s sin(x) i cos(x) oblicza się jako:
$$ \frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} $$
$$ \frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} $$
Umieszczenie wszystkich wartości pochodnych w regule ilorazu:
$$ \frac{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right) )}} + \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} $$
Upraszczając wyrażenie, aby uzyskać wynik końcowy jako:
$$ \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cos^{3}{\left(x \right)}} $$
Jaka jest wymagana pochodna danej funkcji trygonometrycznej. Jeśli szukasz natychmiastowych obliczeń, zalecamy skorzystanie z naszego bezpłatnego kalkulatora różnicowego.
Jak korzystać z tego kalkulatora instrumentów pochodnych?
Aby znaleźć pochodną za pomocą kalkulatora różnicowania, należy postępować zgodnie z przewodnikiem wymienionym poniżej:
Wejście:
- Wprowadź funkcję w wyznaczonym polu (Możesz także załadować przykład, jeśli nie masz żadnej konkretnej funkcji)
- Z kolejnej listy wybierz zmienną, względem której chcesz wyznaczyć pochodną
- Wprowadź żądaną kolejność powtórzeń różnicowania
- Kliknij Oblicz
Wyjście:
- Pochodna po zmiennej
- Wykresy
- Formy rozszerzone i alternatywne
- Domena i zasięg
- Globalne minima i maksima
- Rozszerzenie serii
- Obliczenia krok po kroku
Często zadawane pytania:
Jakie są pochodne sin(x) i cos(x)?
Pochodne sin(x) i cos(x) to odpowiednio cos(x) i -sin(x). Możesz także zweryfikować za pomocą naszego kalkulatora instrumentów pochodnych z krokami.