أوجد القيمة المتوقعة (EV) للمتغير العشوائي (X) باستخدام حاسبة القيمة المتوقعة. وهي تعمل على تقدير متوسط النتيجة المحتملة أو قيمة المتغير العشوائي بناءً على النتائج المحتملة المختلفة. يمكنك أيضًا الحصول على حسابات خطوة بخطوة للتوزيع الاحتمالي.
ما هي القيمة المتوقعة؟
القيمة المتوقعة هي المتوسط الحسابي أو القيمة المتوسطة لمتغير عشوائي بناءً على جميع النتائج المحتملة المختلفة التي تحدث بشكل متكرر.
في الاحتمالات والإحصائيات، تُعرف حاسبة القيمة المتوقعة أيضًا باسم حاسبة التوقعات.
على سبيل المثال:
فكر في الأمر مثل رمي عملة معدنية، هناك احتمال بنسبة 50% أن تحصل على صورة واحتمال 50% أن تحصل على كتابة. القيمة المتوقعة ليست بالضبط صورة أو صورة، ولكن في مكان ما بينهما.
وفي هذه الحالة ستكون القيمة المتوقعة 0.5 حسب الصيغة التي ناقشناها أدناه.
صيغة القيمة المتوقعة
\( E(X) = \mu_x = x_{1}P(x_1) + x_{2}P(x_2) + … + x_{n}P(x_n) \)
باستخدام علامة الجمع، يمكن إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي:
\( E(X) = \mu_x = \sum_{i=1}^{n} x_i * P(x_i) \)
أين،
- \(E(X)\): يمثل القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي X
- \(\mu_x\): يشير إلى متوسط X
- \(\sum\): رمز الجمع
- \(P(x_i)\): يمثل احتمالية القيمة \((x_i)\)
- \(n\): عدد جميع النتائج الممكنة
- \(x_i\): يشار إليه بنتيجة \(i^{th}\) للمتغير العشوائي X
- \(i\): يشير إلى النتيجة المحتملة للمتغير العشوائي X
كيف تحسب القيمة المتوقعة؟
مثال:
للنرد ستة جوانب، ولكل جانب رقم مثل 1، 2، 3، 4، 5، أو 6.
الآن، لنفترض أنك قمت برمي هذا النرد. ما هو الرقم الذي سوف تحصل عليه؟ لأن كل رقم لديه فرصة متساوية للظهور.
دعونا نحسبها:
النتائج المحتملة هي الأرقام من 1 إلى 6.
احتمال الحصول على أي رقم فردي هو 1/6 لأن هناك ستة جوانب في حجر النرد.
الآن، دعونا نجد القيمة المتوقعة باستخدام الصيغة:
القيمة المتوقعة E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6)
القيمة المتوقعة E(X) = 21/6 = 3.5
الجدول هـ(X):
| النتيجة (X) | الاحتمال P(X) | المجموع المرجح: \(x_i * P(x_i)\) |
|---|---|---|
| 1 | 1/6 | 1/6 |
| 2 | 1/6 | 2/6 |
| 3 | 1/6 | 3/6 |
| 4 | 1/6 | 4/6 |
| 5 | 1/6 | 5/6 |
| 6 | 1/6 | 6/6 |
| الإجمالي | 1 | 21/6 |
| القيمة المتوقعة E(X) | 3.5 | |
لذلك، عندما تقوم برمي النرد عدة مرات، يمكنك أن تتوقع أن يكون متوسط القيمة حوالي 3.5. يمكنك أيضًا التحقق من ذلك بشكل صحيح عن طريق إضافة نفس القيم إلى حاسبة القيمة المتوقعة لدينا.
خطوات استخدام هذه الآلة الحاسبة:
الخطوة 1: أدخل قيم احتمالية P(X) وقيم المتغير X في المربعات المخصصة.
الخطوة 2: انقر فوق حساب
الخطوة 3: أخيرًا، توفر حاسبة القيمة المتوقعة جدول القيمة المتوقعة E (X) جنبًا إلى جنب مع الحسابات خطوة بخطوة.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون القيمة المتوقعة سلبية؟
نعم، يمكن أن تكون القيمة المتوقعة سلبية. فكر في سيناريو تلعب فيه لعبة ذات نتيجتين محتملتين: الفوز أو خسارة المال. لنفترض أن هناك فرصة بنسبة 60% لربح 10 دولارات واحتمال 40% لخسارة 15 دولارًا.
في هذه الحالة ستكون القيمة المتوقعة:
- القيمة المتوقعة = 0.60 × 10 + 0.40 × (− 15) = −1
تعني هذه القيمة السلبية المتوقعة أنه، في المتوسط، يمكنك توقع خسارة دولار واحد لكل لعبة بسبب الاحتمالات والقيم المرتبطة بكل نتيجة.
ماذا يعني إذا كانت القيمة المتوقعة صفر؟
إذا كانت القيمة المتوقعة صفر، فهذا يشير إلى أن متوسط نتيجة المتغير العشوائي يساوي الصفر. بمعنى آخر، مجموع حاصل ضرب كل نتيجة محتملة واحتمالها يساوي صفرًا. وهذا يعني أن النتائج الإيجابية والسلبية تتوازن مما لا يؤدي إلى أي ربح أو خسارة على عدد كبير من التجارب.