Etsi odotusarvo (EV) satunnaismuuttujalle (X) käyttämällä tätä odotusarvolaskuria. Se toimii arvioimaan satunnaismuuttujan todennäköistä keskimääräistä lopputulosta tai arvoa erilaisten mahdollisten tulosten perusteella. Voit myös saada vaiheittaisia laskelmia todennäköisyysjakaumasta.
Mikä on odotettu arvo?
Odotettu arvo on satunnaismuuttujan aritmeettinen keskiarvo tai keskiarvo, joka perustuu kaikkiin usein esiintyviin mahdollisiin tuloksiin.
Todennäköisyyslaskennassa ja tilastoissa odotusarvolaskin tunnetaan myös odotuslaskurina.
Esimerkiksi:
Ajattele sitä kuin kolikon heittämistä, sillä on 50 % todennäköisyys saada päät ja 50 % todennäköisyys saada hännät. Odotettu arvo ei ole aivan päätä tai häntää, vaan jossain siltä väliltä.
Tässä tapauksessa odotusarvo olisi 0,5 alla käsitellyn kaavan mukaan.
Odotetun arvon kaava
\(E(X) = \mu_x = x_{1}P(x_1) + x_{2}P(x_2) + … + x_{n}P(x_n) \)
Summamerkkiä käyttämällä yllä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon:
\(E(X) = \mu_x = \sum_{i=1}^{n} x_i * P(x_i) \)
Missä,
- \(E(X)\): Edustaa satunnaismuuttujan X odotettua arvoa
- \(\mu_x\): Osoittaa X:n keskiarvon
- \(\sum\): summaussymboli
- \(P(x_i)\): Edustaa arvon \((x_i)\) todennäköisyyttä
- \(n\): Kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä
- \(x_i\): viitataan satunnaismuuttujan X tuloksena \(i^{th}\)
- \(i\): Ilmoittaa satunnaismuuttujan X mahdollisen tuloksen
Kuinka lasket odotetun arvon?
Esimerkki:
Nopan puolella on kuusi puolta, ja jokaisella sivulla on luku, kuten 1, 2, 3, 4, 5 tai 6.
Oletetaan nyt, että heität tätä noppaa. Minkä numeron saat? Koska jokaisella numerolla on yhtäläinen mahdollisuus ilmestyä.
Lasketaan se:
Mahdolliset tulokset ovat numerot 1-6.
Todennäköisyys saada mikä tahansa yksittäinen numero on 1/6, koska nopalla on kuusi puolta.
Etsitään nyt odotettu arvo kaavan avulla:
Odotettu arvo E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6)
Odotettu arvo E(X) = 21/6 = 3,5
Taulukko E(X):
| Tulos (X) | Todennäköisyys P(X) | Painotettu summa: \(x_i * P(x_i)\) |
|---|---|---|
| 1 | 1/6 | 1/6 |
| 2 | 1/6 | 2/6 |
| 3 | 1/6 | 3/6 |
| 4 | 1/6 | 4/6 |
| 5 | 1/6 | 5/6 |
| 6 | 1/6 | 6/6 |
| Yhteensä | 1 | 21/6 |
| Odotettu arvo E(X) | 3.5 | |
Joten kun heität noppaa monta kertaa, voit odottaa keskiarvon olevan noin 3,5. Voit jopa tarkistaa sen oikein lisäämällä samat arvot odotusarvolaskuriimme.
Vaiheet tämän laskimen käyttämiseen:
Vaihe 1: Syötä P(X):n todennäköisyyden arvot ja muuttujan X arvot niille tarkoitettuihin ruutuihin.
Vaihe 2: Napsauta Laske
Vaihe 3: Lopuksi tämä odotusarvolaskin tarjoaa E (X) -odotusarvotaulukon sekä vaiheittaiset laskelmat.
UKK
Voiko odotettu arvo olla negatiivinen?
Kyllä, odotettu arvo voi olla negatiivinen. Harkitse skenaariota, jossa pelaat peliä, jolla on kaksi mahdollista lopputulosta: voitto tai rahan menetys. Oletetaan, että on 60 % mahdollisuus saada 10 dollaria ja 40 % mahdollisuus menettää 15 dollaria.
Tässä tapauksessa odotettu arvo olisi:
- Odotettu arvo = 0,60 × 10 + 0,40 × (− 15) = -1
Tämä negatiivinen odotusarvo tarkoittaa, että voit odottaa menettäväsi keskimäärin 1 dollarin peliä kohti kuhunkin tulokseen liittyvien todennäköisyyksien ja arvojen vuoksi.
Mitä tarkoittaa, jos odotettu arvo on nolla?
Jos odotusarvo on nolla, se osoittaa, että satunnaismuuttujan keskimääräinen tulos on nolla. Toisin sanoen kunkin mahdollisen tuloksen ja sen todennäköisyyden tulojen summa on nolla. Tämä tarkoittaa, että positiiviset ja negatiiviset tulokset tasapainottavat, mikä ei johda voittoon tai tappioon useissa kokeissa.