Ermitteln Sie mit diesem Erwartungswertrechner den Erwartungswert (EV) für die Zufallsvariable (X). Die Funktion besteht darin, das wahrscheinliche durchschnittliche Ergebnis oder den Wert einer Zufallsvariablen auf der Grundlage verschiedener möglicher Ergebnisse zu schätzen. Außerdem können Sie schrittweise Berechnungen für die Wahrscheinlichkeitsverteilung erhalten.
Was ist der erwartete Wert?
Der Erwartungswert ist der arithmetische Mittelwert oder Durchschnittswert einer Zufallsvariablen basierend auf allen möglichen, häufig auftretenden Ergebnissen.
In der Wahrscheinlichkeits- und Statistik wird der Erwartungswertrechner auch als Erwartungsrechner bezeichnet.
Zum Beispiel:
Stellen Sie sich das so vor, als würden Sie eine Münze werfen: Es besteht eine 50-prozentige Chance, dass Sie „Kopf“ bekommen, und eine 50-prozentige Chance, dass Sie „Zahl“ bekommen. Der erwartete Wert liegt nicht genau bei Kopf oder Zahl, sondern irgendwo dazwischen.
In diesem Fall wäre der erwartete Wert gemäß der Formel, die wir unten besprochen haben, 0,5.
Formel für den erwarteten Wert
\( E(X) = \mu_x = x_{1}P(x_1) + x_{2}P(x_2) + … + x_{n}P(x_n) \)
Unter Verwendung des Summationszeichens kann die obige Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:
\( E(X) = \mu_x = \sum_{i=1}^{n} x_i * P(x_i) \)
Wo,
- \(E(X)\): Stellt den erwarteten Wert der Zufallsvariablen X dar
- \(\mu_x\): Gibt den Mittelwert von X an
- \(\sum\): Symbol für Summation
- \(P(x_i)\): Stellt die Wahrscheinlichkeit des Wertes \((x_i)\) dar.
- \(n\): Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse
- \(x_i\): Wird als \(i^{th}\)-Ergebnis der Zufallsvariablen X bezeichnet
- \(i\): Gibt das mögliche Ergebnis der Zufallsvariablen X an
Wie berechnet man den Erwartungswert?
Beispiel:
Ein Würfel hat sechs Seiten und jede Seite hat eine Zahl wie 1, 2, 3, 4, 5 oder 6.
Nehmen wir an, Sie würfeln. Welche Nummer bekommst du? Weil jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, aufzutauchen.
Berechnen wir es:
Die möglichen Ergebnisse sind die Zahlen von 1 bis 6.
Die Wahrscheinlichkeit, eine einzelne Zahl zu erhalten, beträgt 1/6, da die Würfel sechs Seiten haben.
Lassen Sie uns nun den erwarteten Wert mithilfe der Formel ermitteln:
Erwarteter Wert E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6)
Erwarteter Wert E(X) = 21/6 = 3,5
Tabelle E(X):
| Ergebnis (X) | Wahrscheinlichkeit P(X) | Gewichtete Summe: \(x_i * P(x_i)\) |
|---|---|---|
| 1 | 1/6 | 1/6 |
| 2 | 1/6 | 2/6 |
| 3 | 1/6 | 3/6 |
| 4 | 1/6 | 4/6 |
| 5 | 1/6 | 5/6 |
| 6 | 1/6 | 6/6 |
| Gesamt | 1 | 21/6 |
| Erwarteter Wert E(X) | 3.5 | |
Wenn Sie also mehrmals würfeln, können Sie davon ausgehen, dass der Durchschnittswert bei etwa 3,5 liegt. Sie können es sogar direkt überprüfen, indem Sie die gleichen Werte in unseren Erwartungswertrechner eingeben.
Schritte zur Verwendung dieses Rechners:
Schritt 1: Geben Sie die Werte für die Wahrscheinlichkeit von P(X) und die Werte der Variablen X in die dafür vorgesehenen Felder ein.
Schritt 2: Klicken Sie auf Berechnen
Schritt 3: Schließlich stellt dieser Erwartungswertrechner die Tabelle „E (X) Erwartungswert“ zusammen mit schrittweisen Berechnungen bereit.
FAQs
Kann der Erwartungswert negativ sein?
Ja, der Erwartungswert kann negativ sein. Stellen Sie sich ein Szenario vor, in dem Sie ein Spiel mit zwei möglichen Ergebnissen spielen: Geld gewinnen oder verlieren. Nehmen wir an, die Chance, 10 $ zu gewinnen, liegt bei 60 % und die Chance, 15 $ zu verlieren, bei 40 %.
In diesem Fall wäre der erwartete Wert:
- Erwarteter Wert = 0,60 × 10 + 0,40 × (− 15) = −1
Dieser negative Erwartungswert bedeutet, dass Sie aufgrund der mit jedem Ergebnis verbundenen Wahrscheinlichkeiten und Werte im Durchschnitt damit rechnen können, 1 $ pro Spiel zu verlieren.
Was bedeutet es, wenn der Erwartungswert Null ist?
Wenn der erwartete Wert Null ist, bedeutet dies, dass das durchschnittliche Ergebnis einer Zufallsvariablen gleich Null ist. Mit anderen Worten: Die Summe der Produkte jedes möglichen Ergebnisses und seiner Wahrscheinlichkeit ist gleich Null. Dies bedeutet, dass sich die positiven und negativen Ergebnisse ausgleichen, was bei einer großen Anzahl von Versuchen zu keinem Gewinn oder Verlust führt.