Bu beklenen değer hesaplayıcıyı kullanarak Rastgele değişken (X) için beklenen değeri (EV) bulun. Farklı olası sonuçlara dayalı olarak rastgele bir değişkenin olası ortalama sonucunu veya değerini tahmin etme işlevi görür. Ayrıca olasılık dağılımı için adım adım hesaplamalar alabilirsiniz.
Beklenen Değer Nedir?
Beklenen değer, sık sık meydana gelen tüm olası sonuçlara dayalı olarak bir rastgele değişkenin aritmetik ortalaması veya ortalama değeridir.
Olasılık ve istatistikte beklenen değer hesaplayıcısı aynı zamanda beklenti hesaplayıcısı olarak da bilinir.
Örneğin:
Bunu yazı-tura atmak gibi düşünün; %50 oranında tura, %50 oranında yazı gelme ihtimali vardır. Beklenen değer tam olarak yazı veya tura değil, ikisinin arasında bir yerdedir.
Bu durumda aşağıda tartıştığımız formüle göre beklenen değer 0,5 olacaktır.
Beklenen Değer Formülü
\( E(X) = \mu_x = x_{1}P(x_1) + x_{2}P(x_2) + … + x_{n}P(x_n) \)
Toplama işareti kullanılarak yukarıdaki denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:
\( E(X) = \mu_x = \sum_{i=1}^{n} x_i * P(x_i) \)
Nerede,
- \(E(X)\): X rastgele değişkeninin beklenen değerini temsil eder
- \(\mu_x\): X'in ortalamasını gösterir
- \(\sum\): Toplama sembolü
- \(P(x_i)\): \((x_i)\) değerinin olasılığını temsil eder
- \(n\): Tüm olası sonuçların sayısı
- \(x_i\): X rastgele değişkeninin \(i^{th}\) sonucu olarak anılır
- \(i\): X rastgele değişkeninin olası sonucunu belirtir
Beklenen Değeri Nasıl Hesaplarsınız?
Örnek:
Zarın altı tarafı vardır ve her tarafta 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 gibi sayılar bulunur.
Şimdi diyelim ki bu zarı attınız. Hangi numarayı alacaksın? Çünkü her sayının çıkma şansı eşittir.
Hadi hesaplayalım:
Olası sonuçlar 1'den 6'ya kadar olan sayılardır.
Zarın altı yüzü olduğundan tek sayı gelme olasılığı 1/6'dır.
Şimdi aşağıdaki formülü kullanarak beklenen değeri bulalım:
Beklenen Değer E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6)
Beklenen Değer E(X) = 21/6 = 3,5
Tablo E(X):
| Sonuç (X) | Olasılık P(X) | Ağırlıklı Toplam: \(x_i * P(x_i)\) |
|---|---|---|
| 1 | 1/6 | 1/6 |
| 2 | 1/6 | 2/6 |
| 3 | 1/6 | 3/6 |
| 4 | 1/6 | 4/6 |
| 5 | 1/6 | 5/6 |
| 6 | 1/6 | 6/6 |
| Toplam | 1 | 21/6 |
| Beklenen Değer E(X) | 3.5 | |
Yani zarları birçok kez attığınızda ortalama değerin 3,5 civarında olmasını bekleyebilirsiniz. Hatta aynı değerleri beklenen değer hesaplayıcımıza ekleyerek doğru olup olmadığını kontrol edebilirsiniz.
Bu Hesaplayıcıyı Kullanma Adımları:
Adım 1: P(X) olasılığına ilişkin değerleri ve X değişkeninin değerlerini belirlenen kutulara girin.
Adım 2: Hesapla'yı tıklayın
Adım 3: Son olarak, bu beklenen değer hesaplayıcı, adım adım hesaplamalarla birlikte E (X) Beklenen Değer tablosunu sağlar.
SSS
Beklenen Değer Negatif Olabilir mi?
Evet, beklenen değer negatif olabilir. İki olası sonucu olan bir oyun oynadığınızı düşünün: para kazanmak veya kaybetmek. Diyelim ki 10$ kazanma şansı %60, 15$ kaybetme şansı da %40.
Bu durumda beklenen değer şu şekilde olacaktır:
- Beklenen Değer = 0,60 × 10 + 0,40 × (− 15) = −1
Bu negatif beklenen değer, her sonuçla ilişkili olasılıklar ve değerler nedeniyle ortalama olarak oyun başına 1$ kaybetmeyi bekleyebileceğiniz anlamına gelir.
Beklenen Değerin Sıfır Olması Ne Anlama Gelir?
Beklenen değerin sıfır olması, bir rastgele değişkenin ortalama sonucunun sıfıra eşit olduğunu gösterir. Başka bir deyişle, her olası sonucun ve olasılığının çarpımlarının toplamı sıfıra eşittir. Bu, olumlu ve olumsuz sonuçların dengelendiği ve çok sayıda denemede hiçbir kazanç veya kayıpla sonuçlanmadığı anlamına gelir.