ค้นหาค่าที่คาดหวัง (EV) สำหรับตัวแปรสุ่ม (X) โดยใช้เครื่องคำนวณค่าที่คาดหวังนี้ ทำหน้าที่ในการประมาณผลลัพธ์หรือมูลค่าเฉลี่ยที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มโดยพิจารณาจากผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกัน นอกจากนี้คุณยังสามารถรับการคำนวณทีละขั้นตอนสำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นได้
มูลค่าที่คาดหวังคืออะไร?
ค่าที่คาดหวังคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มโดยพิจารณาจากผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ต่างๆ ทั้งหมดที่เกิดขึ้นบ่อยครั้ง
ในด้านความน่าจะเป็นและสถิติ เครื่องคำนวณค่าคาดหวังเรียกอีกอย่างว่าเครื่องคำนวณความคาดหวัง
ตัวอย่างเช่น:
คิดว่ามันเหมือนกับการโยนเหรียญ มีโอกาส 50% ที่คุณจะได้หัวและโอกาส 50% ที่จะได้ก้อย ค่าที่คาดหวังไม่ใช่ค่าหัวหรือก้อยที่แน่นอน แต่เป็นค่าใดค่าหนึ่งระหว่างนั้น
ในกรณีนี้ ค่าที่คาดหวังจะเป็น 0.5 ตามสูตรที่เราได้กล่าวถึงด้านล่างนี้
สูตรมูลค่าที่คาดหวัง
\( E(X) = \mu_x = x_{1}P(x_1) + x_{2}P(x_2) + … + x_{n}P(x_n) \)
เมื่อใช้เครื่องหมายบวก สมการข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้เป็น:
\( E(X) = \mu_x = \sum_{i=1}^{n} x_i * P(x_i) \)
ที่ไหน,
- \(E(X)\): แสดงถึงค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่ม X
- \(\mu_x\): ระบุค่าเฉลี่ยของ X
- \(\sum\): สัญลักษณ์ของการบวก
- \(P(x_i)\): แสดงถึงความน่าจะเป็นของค่า \((x_i)\)
- \(n\): จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
- \(x_i\): เรียกว่า \(i^{th}\) ผลลัพธ์ของตัวแปรสุ่ม X
- \(i\): ระบุผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม X
คุณจะคำนวณมูลค่าที่คาดหวังได้อย่างไร?
ตัวอย่าง:
ลูกเต๋ามีหกด้าน และแต่ละด้านมีตัวเลขเช่น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6
ทีนี้ สมมติว่าคุณทอยลูกเต๋านี้ คุณจะได้เลขอะไร? เพราะแต่ละเลขมีโอกาสโผล่เท่ากัน
มาคำนวณกัน:
ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6
ความน่าจะเป็นที่จะได้เลขตัวเดียวคือ 1/6 เพราะลูกเต๋ามีหกด้าน
ตอนนี้เรามาหาค่าที่คาดหวังโดยใช้สูตร:
ค่าที่คาดหวัง E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6)
ค่าที่คาดหวัง E(X) = 21/6 = 3.5
ตาราง จ(X):
| ผลลัพธ์ (X) | ความน่าจะเป็น P(X) | ผลรวมถ่วงน้ำหนัก: \(x_i * P(x_i)\) |
|---|---|---|
| 1 | 1/6 | 1/6 |
| 2 | 1/6 | 2/6 |
| 3 | 1/6 | 3/6 |
| 4 | 1/6 | 4/6 |
| 5 | 1/6 | 5/6 |
| 6 | 1/6 | 6/6 |
| ทั้งหมด | 1 | 21/6 |
| ค่าที่คาดหวัง E(X) | 3.5 | |
ดังนั้น เมื่อคุณทอยลูกเต๋าหลายๆ ครั้ง คุณสามารถคาดหวังได้ว่าค่าเฉลี่ยจะอยู่ที่ประมาณ 3.5 คุณสามารถตรวจสอบได้ถูกต้องด้วยการเพิ่มค่าเดียวกันลงในเครื่องคำนวณมูลค่าที่คาดหวังของเรา
ขั้นตอนในการใช้เครื่องคิดเลขนี้:
ขั้นตอนที่ 1: ป้อนค่าความน่าจะเป็นของ P(X) และค่าของตัวแปร X ลงในช่องที่กำหนด
ขั้นตอนที่ 2: คลิกคำนวณ
ขั้นตอนที่ 3: ในที่สุด เครื่องคำนวณมูลค่าที่คาดหวังนี้จะแสดงตารางมูลค่าที่คาดหวัง E (X) พร้อมด้วยการคำนวณทีละขั้นตอน
คำถามที่พบบ่อย
ค่าที่คาดหวังอาจเป็นค่าลบได้หรือไม่?
ใช่ ค่าที่คาดหวังอาจเป็นค่าลบได้ พิจารณาสถานการณ์ที่คุณกำลังเล่นเกมที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองประการ: ชนะหรือแพ้เงิน สมมติว่ามีโอกาส 60% ที่จะได้รับ $10 และโอกาส 40% ที่จะสูญเสีย $15
ในกรณีนี้ ค่าที่คาดหวังจะเป็น:
- ค่าที่คาดหวัง = 0.60 × 10 + 0.40 × (- 15) = −1
ค่าคาดหวังที่เป็นลบนี้หมายความว่า โดยเฉลี่ยแล้ว คุณสามารถคาดหวังที่จะเสียเงิน 1 ดอลลาร์ต่อเกม เนื่องจากความน่าจะเป็นและมูลค่าที่เกี่ยวข้องกับแต่ละผลลัพธ์
หมายความว่าอย่างไรหากค่าที่คาดหวังเป็นศูนย์?
หากค่าที่คาดหวังเป็นศูนย์ แสดงว่าผลลัพธ์โดยเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มมีค่าเท่ากับศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละรายการและความน่าจะเป็นจะเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ที่เป็นบวกและลบจะสมดุลกัน ซึ่งส่งผลให้ไม่มีกำไรหรือขาดทุนจากการทดลองจำนวนมาก