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積分計算器

CLR + × ÷ ^ ( )
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此積分計算器可立即簡化具有多個變數的定積分和不定積分。 只需點擊一下即可取得複雜函數積分計算的步驟。

什麼是積分?

在微積分中:

「積分與用於計算所有概括的面積和體積的總和有關」。 

積分是函數或區間的圖形下方的面積。 實際上,求積分的過程稱為積分,它是導數的逆過程,因此也被稱為反導數。                 

如何尋找反衍生性商品?

帶有步驟的反導數計算器可以找到任何帶有變數的表達式的反導數,並且還有助於實現區間的最大值和最小值的上限和下限。 

我們帶步驟的線上積分計算器是簡化任何類型積分的最佳方法。 但是,如果您的目標是透過手動計算實現的,那麼您應該掌握定積分和不定積分技術。

讓我們透過幾個例子來闡明您的概念!

定積分:

用步驟求解以下定積分 

$$ \int_{0}^{1}\left( 3 x^{2} + x - 1 \right), dx $$

解決方案:

首先,我們需要得到給定積分的不定積分結果 

$$ \int{\left(3 x^{2} + x - 1\right),dx} $$

$$ = x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right) $$

定積分的基本定理指出 

$$ \int{a}^{b} F\left(x\right) dx = f\left(b\right)-f\left(a\right) $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 1\right)} = \frac{1} {2} $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 0\right)} = 0 $$

$$ \int_{0}^{1}\left(3 x^{2} + x - 1\right), dx $$

$$ = \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=1\right)}-\left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=0\right)} $$

$$ =\frac{1}{2} $$

這是所需的答案。 您也可以使用我們的積分計算器瞬間驗證結果。                            

不定積分:

評估如下給出的積分

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx$$

解決方案:

讓我們假設 

$$ u = x^{2} $$ 

應用冪定則計算上式的反導式:

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^(n-1) $$

替代 n=2

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x^(2-1) $$

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x $$

因為 $$ x^{2} = u $$

所以我們有 

$$ d\left(u\right) = \left(x^{2}\right) = 2xdx $$

$$ d\left(u\right) = xdx $$

現在,應用反派生規則:

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \int d\frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

我們需要應用乘法規則,如下所示

$$ \int cf\left(u\right), du $$

$$ = c\int f\left(u\right), du $$

$$ \int \frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

$$ = \left(\frac{\int cos\left(u\right), du}{2}\right) $$

餘弦積分如下 

$$ \int cos \left(u\right), du = sin \left(u\right) $$

$$ int cos \left(u\right), du = \frac{sin\left(u\right)}{2} $$

正如一開始,我們讓

$$ u = x^{2} $$

$$ \frac{sin\left(u\right)}{2} = \frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \dfrac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

此處新增積分常數 C

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = d\frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} + C $$

這是給定函數所需的積分計算,也可以使用不定積分解算器來驗證。

積分計算器的工作原理:

要使用我們的反導數計算器,您可以獲得任何函數的積分。 只需輸入以下內容即可立即進行積分計算!

輸入:

  • 在對應欄位中輸入函數
  • 從相鄰清單中選擇相關變數
  • 選擇積分類型 
  • 如果選擇“定積分”,請輸入下限和上限
  • 點擊“計算”

輸出:

我們的線上定積分計算器將為您提供以下答案。 

  • 定積分和不定積分 
  • 積分圖及其實部和虛部 
  • 整體簡化步驟

常見問題:

你能從積分中取出數字嗎?

當然是! 您可以將常數從積分中拖出,以便於計算。

例如,積分 $$ \int 3y + 9 $$ 與我們將數字 3 乘以積分 \(y + 3\) 相同。

反衍生性商品有什麼用?

此術語用於估計曲線下面積、固體體積、距離、速度、加速度、函數平均值以及任何形狀的面積。 為此,您可以使用我們的反導數計算器來幫助您。 

積分可以是無窮大嗎?

是的! 任何用正負極限定義的不定積分稱為無限積分。 您也可以使用帶有步驟的不定積分計算器來評估此類積分。

你能對每個函數求積分嗎?

只能對連續函數進行積分。 原因是定義了這樣一個函數並顯示曲線下的面積。

積分可以為零嗎?

是的,它只是一個定積分,可以是正數、負數或零。 

E 到 X 的反導數是什麼?

e^x 的反導數寫成 ex + c 的形式,其中 c 是積分常數。

積分總是可微的嗎?

您只能對本質上不定的連續函數的積分進行微分。

為什麼積分有常數 C?

加上常數C來表示那些其導數是原函數的函數。

重要積分公式:

功能 一體化
∫1 dx x + c
∫xn dx xn+1/ n+1 + c
∫a dx ax + c
∫ (1/x) dx lnx + c
∫ ax dx ax / lna + c
∫ ex dx ex + c
∫ sinx dx -cosx + c
∫ cosx dx sinx + c
∫ tanx dx - ln|cos x| + c
∫ cosec2x dx -cot x + c
∫ sec2x dx tan x + c
∫ cotx dx ln|sinx| + c
∫ (secx)(tanx) dx secx + c
∫ (cosecx)(cotx) dx -cosecx + c
∫ 1/(1-x2)1/2 dx sin-1x + c
∫ 1/(1+x2)1/2 dx cos-1x + c
∫ 1/(1+x2) dx tan-1x + c
∫ 1/|x|(x2 - 1)1/2 dx cos-1x + c
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