Интегрален калкулатор

Този интегрален калкулатор незабавно опростява определени и неопределени интеграли с множество променливи. Включете стъпки в интегралното изчисление на сложни функции с едно докосване.

Какво е Интеграл?

В смятането:

„Интегралът е свързан със сумата, която се използва за изчисляване на площта и обема с всички обобщения“. 

Интеграл е площта под графиката на функция или интервал. Всъщност процесът на намиране на интеграла е известен като интегриране и е обратен на производните, поради което се нарича още антипроизводни.                 

Как да намерим антидеривати?

Антипроизводният калкулатор със стъпки намира антипроизводен на всеки израз с променливи и също така помага да се реализира горната и долната граница с максималните и минималните стойности на интервалите. 

Нашият онлайн интегрален калкулатор със стъпки е най-добрият начин за опростяване на всеки вид интеграл. Но ако целта ви се свежда до ръчни изчисления, трябва да се захванете както с определени, така и с неопределени техники за интегриране.

Нека разрешим няколко примера, за да изясним концепцията ви!

Определен интеграл:

Решете следния определен интеграл със стъпки 

$$ \int_{0}^{1}\left( 3 x^{2} + x - 1 \right), dx $$

Решение:

Първо, трябва да получим резултатите за неопределено интегриране на дадения интеграл 

$$ \int{\left(3 x^{2} + x - 1\right),dx} $$

$$ = x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right) $$

Основната теорема за определената интеграция гласи, че 

$$ \int{a}^{b} F\left(x\right) dx = f\left(b\right)-f\left(a\right) $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 1\right)} = \frac{1} {2} $$

$$ \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x = 0\right)} = 0 $$

$$ \int_{0}^{1}\left(3 x^{2} + x - 1\right), dx $$

$$ = \left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=1\right)}-\left(x \left(x^{2} + \frac{x}{2} - 1\right)\right)|_{\left(x=0\right)} $$

$$ =\frac{1}{2} $$

Което е задължителният отговор. Можете също така да проверите резултатите, като използвате нашия интегрален калкулатор за миг.                            

Неопределен интеграл:

Изчислете интеграла, даден по-долу

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

Решение:

Нека направим предположение, че 

$$ u = x^{2} $$ 

Изчисляване на формулата на противопроизводната на горното уравнение чрез прилагане на правилото за степен:

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^(n-1) $$

Заместник n=2

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x^(2-1) $$

$$ \frac{d}{dx}\left(x^{2}\right) = 2x $$

Като $$ x^{2} = u $$

така че имаме 

$$ d\left(u\right) = \left(x^{2}\right) = 2xdx $$

$$ d\left(u\right) = xdx $$

Сега, прилагайки антипроизводното правило:

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \int d\frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

Трябва да приложим правилото за умножение, което е както следва

$$ \int cf\left(u\right), du $$

$$ = c\int f\left(u\right), du $$

$$ \int \frac{cos\left(u\right)}{2}, du $$

$$ = \left(\frac{\int cos\left(u\right), du}{2}\right) $$

Тъй като интегралът от косинус е даден по следния начин 

$$ \int cos \left(u\right), du = sin \left(u\right) $$

$$ int cos \left(u\right), du = \frac{sin\left(u\right)}{2} $$

Както в началото, оставяме

$$ u = x^{2} $$

$$ \frac{sin\left(u\right)}{2} = \frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = \dfrac{sin\left(x^{2}\right)}{2} $$

Добавяне на константата на интегриране тук, която е C

$$ \int x*cos\left(x^{2}\right), dx $$

$$ = d\frac{sin\left(x^{2}\right)}{2} + C $$

Което представлява изискваните интегрални изчисления на дадената функция и може също да се провери с помощта на програмата за решаване на неопределен интеграл.

Работа на интегралния калкулатор:

За да използвате нашия противопроизводен калкулатор, можете да получите интеграла на всяка функция. Просто въведете следните входове и получете незабавни интегрални изчисления!

входове:

• Въведете функцията в съответното поле
• Изберете свързаната променлива от съседен списък
• Изберете вида на интеграла 
• Ако изберете „Определен интеграл“, въведете долната и горната граница
• Докоснете „Изчисли“

Изходи:

Нашият онлайн калкулатор за определен интеграл ще ви даде следния отговор. 

• Определени и неопределени интеграли 
• Графики на интеграли с техните реални и имагинерни части 
• Интегрално опростяване със стъпки

ЧЗВ:

Можете ли да извадите числа от интеграл?

Да, определено! Можете да изтеглите константните числа извън интегралите, за да улесните изчисленията.

Например интегралът $$ \int 3y + 9 $$ е същият като умножаваме числото 3 по интеграла \(y + 3\).

Каква е ползата от антидериватите?

Този термин се използва за оценка на площта под кривата, обем на твърдо тяло, разстояние, скорост, ускорение, средна стойност на функция и площ на всяка форма. За тази цел вие се възползвате от помощта на нашия калкулатор против деривати. 

Може ли един интеграл да бъде безкраен?

да Всеки неопределен интеграл, който е дефиниран с положителни и отрицателни граници, се нарича безкраен. Можете също така да оцените такъв вид интеграция с този неопределен интегрален калкулатор със стъпки.

Можете ли да вземете интеграла на всяка функция?

Интеграл може да се вземе само от непрекъсната функция. Причината е, че такава функция е дефинирана и показва площта под кривата.

Може ли един интеграл да бъде нула?

Да, това е само определен интеграл, който може да бъде положителен, отрицателен или нула. 

Какво е антипроизводно на E към X?

Първоизводната на e^x се записва под формата на ex + c, където c е константата на интегриране.

Интегралът винаги ли е диференцируем?

Можете да диференцирате само интеграла на непрекъсната функция, която е неопределена по своята същност.

Защо интегралите имат константа C?

Константата C се добавя, за да представи онези функции, чиито производни са оригиналните функции.

Важни интегрални формули: